Insiemi transitivi

Testo

Un insieme $A$ si dice transitivo se ogni suo elemento è anche un suo sottoinsieme, cioè $\forall x\,(x \in A \to x \subseteq A)$. Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono transitivi.

(i) $\varnothing$ (ii) $\{\varnothing\}$ (iii) $\{\{\varnothing\}\}$ (iv) $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$

Soluzione

(i) Transitivo: $\varnothing$ non ha elementi, quindi la condizione è verificata a vuoto. (ii) Transitivo: l’unico elemento è $\varnothing$, e $\varnothing \subseteq \{\varnothing\}$. (iii) Non transitivo: l’unico elemento è $\{\varnothing\}$; perché sia sottoinsieme servirebbe $\varnothing \in \{\{\varnothing\}\}$, che è falso (l’unico elemento è $\{\varnothing\}$, non $\varnothing$). (iv) Transitivo: gli elementi sono $\varnothing$ (sottoinsieme di ogni insieme) e $\{\varnothing\}$, e $\{\varnothing\} \subseteq \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ perché $\varnothing$ appartiene all’insieme.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Sottoinsieme
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Vero o falso