Validità di un argomento logico

Testo

Stabilisci se il seguente argomento è valido; in caso affermativo fornisci una dimostrazione, altrimenti un controesempio.

• Se il treno è in orario, allora la stazione è aperta.
• Se il treno non è in orario, allora piove.
• Se siamo in ritardo, allora la stazione non è aperta.
• Quindi: piove oppure non siamo in ritardo.

Soluzione

Poniamo $a$ = “il treno è in orario”, $b$ = “la stazione è aperta”, $c$ = “piove”, $d$ = “siamo in ritardo”. Le premesse sono $a \to b$, $\lnot a \to c$, $d \to \lnot b$; la conclusione è $c \lor \lnot d$.

L’argomento è valido. Supponiamo per assurdo che la conclusione sia falsa: allora $c$ è falsa e $d$ è vera.

• Da $d$ vera e $d \to \lnot b$ segue $\lnot b$, cioè $b$ falsa.
• Da $b$ falsa e $a \to b$ segue $\lnot a$, cioè $a$ falsa.
• Da $\lnot a$ vera e $\lnot a \to c$ segue $c$ vera.

Ma avevamo $c$ falsa: contraddizione. Quindi la conclusione non può essere falsa, e l’argomento è valido.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Connettivi logici · Implicazione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Problema verbale