Operazioni tra insiemi numerici con intervalli

Testo

Dati i due insiemi $A=\{x\mid x\le 2 \ \vee\ 8\le x\le 16\}$ e $B=\{x\mid 2\le x<10\}$, determina:

• (a) $A\cap B$
• (b) $A\cup B$
• (c) $A\setminus B$
• (d) $\bar{A}$ (complementare rispetto a $\mathbb{R}$)

Soluzione

Scriviamo gli insiemi come unioni di intervalli: $A=(-\infty,\,2]\cup[8,\,16], \qquad B=[2,\,10).$

(a) $A\cap B$. Interseco $B$ con ciascun pezzo di $A$: $(-\infty,2]\cap[2,10)=\{2\}$; $\;[8,16]\cap[2,10)=[8,10)$. Quindi $A\cap B=\{2\}\cup[8,\,10).$

(b) $A\cup B$. $[2,10)\cup[8,16]=[2,16]$ e $(-\infty,2]\cup[2,16]=(-\infty,16]$: $A\cup B=(-\infty,\,16].$

(c) $A\setminus B$. Tolgo da $A$ gli elementi di $B=[2,10)$: $(-\infty,2]\setminus[2,10)=(-\infty,2)$; $\;[8,16]\setminus[2,10)=[10,16]$. Dunque $A\setminus B=(-\infty,\,2)\cup[10,\,16].$

(d) $\bar{A}$. Complementare in $\mathbb{R}$ di $(-\infty,2]\cup[8,16]$: $\bar{A}=(2,\,8)\cup(16,\,+\infty).$

$\boxed{A\cap B=\{2\}\cup[8,10)\quad A\cup B=(-\infty,16]\quad A\setminus B=(-\infty,2)\cup[10,16]\quad \bar A=(2,8)\cup(16,+\infty)}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Complementare · Differenza tra insiemi · Intersezione · Intervallo · Unione
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema verbale