Sistema 3x3 con la riduzione

Testo

Risolvi il sistema lineare in tre incognite: $\begin{cases} x + 2y + z = 9\\ 2x - y + 3z = 4\\ 3x + y - 2z = 7 \end{cases}$

Soluzione

Ricaviamo $x$ dalla prima: $x = 9 - 2y - z$.

Sostituiamo nella seconda: 2(9 - 2y - z) - y + 3z = 4 \implies 18 - 4y - 2z - y + 3z = 4 \implies -5y + z = -14. \tag{A} Sostituiamo nella terza: $3(9 - 2y - z) + y - 2z = 7 \implies 27 - 6y - 3z + y - 2z = 7 \implies -5y - 5z = -20,$ cioè $y + z = 4$. \tag{B}

Da (A) $z = 5y - 14$; inserendola in (B): $y + 5y - 14 = 4 \implies 6y = 18 \implies y = 3$. Quindi $z = 5\cdot 3 - 14 = 1$ e $x = 9 - 6 - 1 = 2$. Verifica: $2+6+1=9$, $4-3+3=4$, $6+3-2=7$. Corretto. $\boxed{x = 2, \quad y = 3, \quad z = 1}$

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Metodo di riduzione · Sistema di equazioni
Competenze: Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema