Matematica — Liceo

Definizione e condizioni di esistenza

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Una frazione algebrica è il rapporto di due polinomi: come per le frazioni numeriche, il denominatore non può mai annullarsi. Per questo, prima di ogni calcolo, occorre determinare le condizioni di esistenza, cioè i valori della variabile che rendono nullo il denominatore e vanno esclusi. Un esempio mostra come, riconoscendo i prodotti notevoli nascosti nei polinomi, la frazione si semplifichi in modo sorprendente.

An algebraic fraction is the ratio of two polynomials: as with numerical fractions, the denominator can never vanish. For this reason, before any calculation, one must determine the existence conditions, that is, the values of the variable that make the denominator zero and must be excluded. An example shows how, by recognising the special products hidden in the polynomials, the fraction simplifies in a surprising way.

Le frazioni algebriche estendono alle espressioni con lettere l’idea di frazione: al posto di due numeri troviamo due polinomi, uno al numeratore e uno al denominatore. Come per le frazioni numeriche, il denominatore non può mai essere nullo.

Definizione — Frazione algebrica

Una frazione algebrica è il rapporto di due polinomi: A(x)B(x),B(x)≠0.\frac{A(x)}{B(x)}, \qquad B(x)\neq 0. Le condizioni di esistenza (C.E.) si trovano ponendo il denominatore ≠0\neq 0.

Determinare le condizioni di esistenza significa quindi risolvere l’equazione B(x)=0B(x)=0 ed escludere le sue soluzioni: sono i valori della variabile per cui la frazione non ha significato.

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Argomenti: Frazioni algebriche
Concetti: Condizioni di esistenza · Frazione algebrica · Polinomio

Algebraic fractions extend the idea of a fraction to expressions with letters: instead of two numbers we have two polynomials, one in the numerator and one in the denominator. As with numerical fractions, the denominator can never be zero.

Definition — Algebraic fraction

An algebraic fraction is the ratio of two polynomials: A(x)B(x),B(x)≠0.\frac{A(x)}{B(x)}, \qquad B(x)\neq 0. The existence conditions (E.C.) are found by setting the denominator ≠0\neq 0.

Determining the existence conditions therefore means solving the equation B(x)=0B(x)=0 and excluding its solutions: these are the values of the variable for which the fraction is meaningless.

Topics: Algebraic fractions
Concepts: Existence conditions · Algebraic fraction · Polynomial

Il modo più efficace per semplificare una frazione algebrica è riconoscere i prodotti notevoli “nascosti” nei suoi polinomi. Una volta scomposti numeratore e denominatore, i fattori comuni si eliminano e l’espressione diventa molto più semplice.

Esempio

8x3+12x2+6x+14x2+4x+1−4x2+4x+18x3+12x2+6x+1=0\frac{8x^3+12x^2+6x+1}{4x^2+4x+1} - \frac{4x^2+4x+1}{8x^3+12x^2+6x+1} = 0 Riconosciamo i cubi e i quadrati di binomio: 8x3+12x2+6x+1=(2x+1)3,4x2+4x+1=(2x+1)2.8x^3+12x^2+6x+1 = (2x+1)^3, \qquad 4x^2+4x+1 = (2x+1)^2. C.E.: x≠−12x\neq -\dfrac{1}{2}. (2x+1)3(2x+1)2−(2x+1)2(2x+1)3=0(2x+1)−12x+1=0\begin{aligned} \frac{(2x+1)^3}{(2x+1)^2} - \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^3} &= 0 \\[4pt] (2x+1) - \frac{1}{2x+1} &= 0 \end{aligned}

Dopo la semplificazione l’espressione di partenza, apparentemente complicata, si riduce a una relazione elementare tra 2x+12x+1 e il suo reciproco.

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Argomenti: Frazioni algebriche
Concetti: Condizioni di esistenza · Frazione algebrica · Prodotti notevoli · Semplificazione
Competenze: Scomporre · Semplificare

The most effective way to simplify an algebraic fraction is to recognise the special products “hidden” in its polynomials. Once the numerator and denominator have been factorised, the common factors cancel and the expression becomes much simpler.

Example

8x3+12x2+6x+14x2+4x+1−4x2+4x+18x3+12x2+6x+1=0\frac{8x^3+12x^2+6x+1}{4x^2+4x+1} - \frac{4x^2+4x+1}{8x^3+12x^2+6x+1} = 0 We recognise the cubes and squares of a binomial: 8x3+12x2+6x+1=(2x+1)3,4x2+4x+1=(2x+1)2.8x^3+12x^2+6x+1 = (2x+1)^3, \qquad 4x^2+4x+1 = (2x+1)^2. E.C.: x≠−12x\neq -\dfrac{1}{2}. (2x+1)3(2x+1)2−(2x+1)2(2x+1)3=0(2x+1)−12x+1=0\begin{aligned} \frac{(2x+1)^3}{(2x+1)^2} - \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^3} &= 0 \\[4pt] (2x+1) - \frac{1}{2x+1} &= 0 \end{aligned}

After simplification the initial expression, seemingly complicated, reduces to an elementary relation between 2x+12x+1 and its reciprocal.

Topics: Algebraic fractions
Concepts: Existence conditions · Algebraic fraction · Special products · Simplification
Skills: Factorising · Simplifying

Con i polinomi si ripete esattamente la stessa storia dei numeri: il ruolo dei fattori primi è preso dai fattori irriducibili del polinomio (i “mattoni” che non si spezzano più, come (x−1)(x-1), (x+1)(x+1), xx, x2+1x^2+1). Una volta scomposti i polinomi, MCD e mcm si leggono con gli stessi due metodi — insiemi di fattori e tabella.

Proprietà — MCD e mcm di polinomi

Scomposti i polinomi in fattori irriducibili:

  • MCD: prodotto dei fattori comuni, ciascuno con l’esponente minore;
  • mcm: prodotto di tutti i fattori, ciascuno con l’esponente maggiore.

Il mcm dei denominatori è ciò che serve per sommare o sottrarre frazioni algebriche: è il denominatore comune più piccolo.

Esempio

Scomponiamo tre polinomi: A=x2−1=(x−1)(x+1),B=x2+2x+1=(x+1)2,C=x3−x=x(x−1)(x+1).A = x^2-1 = (x-1)(x+1), \qquad B = x^2+2x+1 = (x+1)^2, \qquad C = x^3-x = x(x-1)(x+1).

Metodo a tabella — una colonna per ogni fattore irriducibile, in cella l’esponente:

xx(x−1)(x-1)(x+1)(x+1)
AA001111
BB000022
CC111111
min000011
max111122

MCD(A,B,C)=(x+1)min⁡=(x+1),mcm(A,B,C)=x (x−1) (x+1)2.\text{MCD}(A,B,C) = (x+1)^{\min} = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B,C) = x\,(x-1)\,(x+1)^2.

Il solo fattore presente in tutte e tre le righe è (x+1)(x+1): ecco il MCD. Il mcm raccoglie tutti i fattori con l’esponente massimo.

Metodo degli insiemi di fattori

Lo stesso risultato con il diagramma di Venn, pensando ogni polinomio come l’insieme dei suoi fattori — l’intersezione dà il MCD, l’unione il mcm. Con A=(x−1)(x+1)A=(x-1)(x+1) e B=(x+1)2B=(x+1)^2:

MCD(A,B)=(x+1),mcm(A,B)=(x−1)(x+1)2.\text{MCD}(A,B) = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B) = (x-1)(x+1)^2.

Perché serve: il denominatore comune

Per calcolare 1x2−1+1x2+2x+1=1(x−1)(x+1)+1(x+1)2\frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} si prende come denominatore comune il mcm =(x−1)(x+1)2=(x-1)(x+1)^2: =(x+1)+(x−1)(x−1)(x+1)2=2x(x−1)(x+1)2.= \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}.

Esattamente come con i numeri, dove per 215−310\tfrac{2}{15}-\tfrac{3}{10} si usa mcm(15,10)=30\text{mcm}(15,10)=30.

Collegamenti

Argomenti: Frazioni algebriche
Concetti: Denominatore comune · Massimo comun divisore (MCD) · Minimo comune multiplo (mcm) · Scomposizione di polinomi
Competenze: Scomporre

With polynomials the exact same story as with numbers repeats: the role of the prime factors is played by the irreducible factors of the polynomial (the “bricks” that no longer break apart, such as (x−1)(x-1), (x+1)(x+1), xx, x2+1x^2+1). Once the polynomials are factored, the GCD and LCM are read off with the same two methods — sets of factors and table.

Property — GCD and LCM of polynomials

Once the polynomials are factored into irreducible factors:

  • GCD: product of the common factors, each with the smaller exponent;
  • LCM: product of all the factors, each with the larger exponent.

The LCM of the denominators is what you need in order to add or subtract algebraic fractions: it is the smallest common denominator.

Example

Let us factor three polynomials: A=x2−1=(x−1)(x+1),B=x2+2x+1=(x+1)2,C=x3−x=x(x−1)(x+1).A = x^2-1 = (x-1)(x+1), \qquad B = x^2+2x+1 = (x+1)^2, \qquad C = x^3-x = x(x-1)(x+1).

Table method — one column for each irreducible factor, the exponent in the cell:

xx(x−1)(x-1)(x+1)(x+1)
AA001111
BB000022
CC111111
min000011
max111122

MCD(A,B,C)=(x+1)min⁡=(x+1),mcm(A,B,C)=x (x−1) (x+1)2.\text{MCD}(A,B,C) = (x+1)^{\min} = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B,C) = x\,(x-1)\,(x+1)^2.

The only factor present in all three rows is (x+1)(x+1): that is the GCD. The LCM gathers every factor with the largest exponent.

Method of sets of factors

The same result with a Venn diagram, thinking of each polynomial as the set of its factors — the intersection gives the GCD, the union the LCM. With A=(x−1)(x+1)A=(x-1)(x+1) and B=(x+1)2B=(x+1)^2:

MCD(A,B)=(x+1),mcm(A,B)=(x−1)(x+1)2.\text{MCD}(A,B) = (x+1), \qquad \text{mcm}(A,B) = (x-1)(x+1)^2.

Why it is needed: the common denominator

To compute 1x2−1+1x2+2x+1=1(x−1)(x+1)+1(x+1)2\frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} one takes as common denominator the LCM =(x−1)(x+1)2=(x-1)(x+1)^2: =(x+1)+(x−1)(x−1)(x+1)2=2x(x−1)(x+1)2.= \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}.

Exactly as with numbers, where for 215−310\tfrac{2}{15}-\tfrac{3}{10} one uses mcm(15,10)=30\text{mcm}(15,10)=30.

Topics: Frazioni algebriche
Concepts: Massimo comun divisore (MCD) · Minimo comune multiplo (mcm) · Denominatore comune
Skills: Scomporre

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