Divisione tra polinomi e regola di Ruffini

Così come per i numeri esiste la divisione con resto, anche i polinomi si possono dividere. La regola di Ruffini rende la divisione per un binomio $(x-c)$ particolarmente rapida e, quando il resto è zero, ci fornisce una potente tecnica di scomposizione.

• Divisione tra polinomi: quoziente e resto
• La tabella di Ruffini
• Scomporre con la regola di Ruffini

Just as for numbers there is division with remainder, polynomials too can be divided. Ruffini’s rule makes division by a binomial $(x-c)$ particularly quick and, when the remainder is zero, it gives us a powerful factorisation technique.

• Division between polynomials: quotient and remainder
• Ruffini’s table
• Factorising with Ruffini’s rule

Così come per i numeri esiste la divisione con resto, anche i polinomi si possono dividere.

Definizione — Divisione tra polinomi

Dati due polinomi $A(x)$ (dividendo) e $B(x)$ (divisore) con $\deg B \le \deg A$, esistono e sono unici $Q(x)$ (quoziente) e $R(x)$ (resto) tali che: $A(x) = B(x)\cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < \deg B.$

Esempio

$\frac{x^3-2x^2+x-1}{x-3} = x^2+x+4 + \frac{11}{x-3}$ Verifica: $(x^2+x+4)(x-3) = x^3-3x^2+x^2-3x+4x-12 = x^3-2x^2+x-12$, e $-12+11=-1$. ✓

Collegamenti

Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Divisione tra polinomi
Competenze: Calcolare

Just as for numbers there is division with remainder, polynomials too can be divided.

Definition — Division between polynomials

Given two polynomials $A(x)$ (dividend) and $B(x)$ (divisor) with $\deg B \le \deg A$, there exist unique $Q(x)$ (quotient) and $R(x)$ (remainder) such that: $A(x) = B(x)\cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < \deg B.$

Example

$\frac{x^3-2x^2+x-1}{x-3} = x^2+x+4 + \frac{11}{x-3}$ Check: $(x^2+x+4)(x-3) = x^3-3x^2+x^2-3x+4x-12 = x^3-2x^2+x-12$, and $-12+11=-1$. ✓

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Topics: Algebraic calculation
Concepts: Division between polynomials
Skills: Calculating

La regola di Ruffini rende la divisione per un binomio $(x-c)$ particolarmente rapida: basta lavorare con i soli coefficienti disposti in una tabella.

Proprietà — Tabella di Ruffini

Per dividere $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ per $(x-c)$, si dispongono i coefficienti in una tabella: si riporta in basso il primo coefficiente, lo si moltiplica per $c$, si somma al coefficiente successivo, e così via.

Esempio

$(6x^3 - 2x + 4) \div (x-2)$. Attenzione: il coefficiente di $x^2$ è $0$ e va scritto.

	$x^3$	$x^2$	$x$	$1$
Coefficienti	$6$	$0$	$-2$	$4$
$c=2$		$12$	$24$	$44$
Risultato	$6$	$12$	$22$	$\boxed{48}$
Significato	$x^2$	$x$	$1$	$R$

Quoziente: $6x^2+12x+22$; resto: $48$.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Divisione tra polinomi · Regola di ruffini
Competenze: Calcolare
Persone: Paolo Ruffini

Ruffini’s rule makes division by a binomial $(x-c)$ particularly quick: it is enough to work with the coefficients alone, laid out in a table.

Property — Ruffini's table

To divide $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ by $(x-c)$, the coefficients are laid out in a table: the first coefficient is brought down, multiplied by $c$, added to the next coefficient, and so on.

Example

$(6x^3 - 2x + 4) \div (x-2)$. Warning: the coefficient of $x^2$ is $0$ and must be written.

	$x^3$	$x^2$	$x$	$1$
Coefficients	$6$	$0$	$-2$	$4$
$c=2$		$12$	$24$	$44$
Result	$6$	$12$	$22$	$\boxed{48}$
Meaning	$x^2$	$x$	$1$	$R$

Quotient: $6x^2+12x+22$; remainder: $48$.

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Concepts: Division between polynomials · Ruffini’s rule
Skills: Calculating
People: Paolo Ruffini

Quando il resto della divisione di Ruffini è zero, il divisore è un fattore del polinomio: ecco perché Ruffini è anche una potente tecnica di scomposizione per polinomi di grado $\ge 3$.

Proprietà — Zero di un polinomio

Se sostituendo $x=a$ nel polinomio $P(x)$ si ottiene $P(a)=0$, allora $(x-a)$ è un divisore di $P(x)$ e il resto della divisione di Ruffini è zero. Il polinomio si scompone come: $P(x) = (x-a)\cdot Q(x).$ Il numero $a$ si chiama zero del polinomio.

Esempio

Scomponiamo $x^3-2x^2-5x+6$.

Proviamo $x=1$: $1-2-5+6=0$ ✓, dunque $(x-1)$ è un fattore.

	$x^3$	$x^2$	$x$	$1$
	$1$	$-2$	$-5$	$6$
$c=1$		$1$	$-1$	$-6$
	$1$	$-1$	$-6$	$\boxed{0}$

Dunque $x^3-2x^2-5x+6 = (x-1)(x^2-x-6) = \boxed{(x-1)(x-3)(x+2)}$.

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Concetti: Regola di ruffini · Scomposizione in fattori · Zero di un polinomio
Competenze: Scomporre
Persone: Paolo Ruffini

When the remainder of Ruffini’s division is zero, the divisor is a factor of the polynomial: this is why Ruffini’s rule is also a powerful factorisation technique for polynomials of degree $\ge 3$.

Property — Zero of a polynomial

If substituting $x=a$ into the polynomial $P(x)$ gives $P(a)=0$, then $(x-a)$ is a divisor of $P(x)$ and the remainder of Ruffini’s division is zero. The polynomial factorises as: $P(x) = (x-a)\cdot Q(x).$ The number $a$ is called a zero of the polynomial.

Example

Let us factorise $x^3-2x^2-5x+6$.

We try $x=1$: $1-2-5+6=0$ ✓, so $(x-1)$ is a factor.

	$x^3$	$x^2$	$x$	$1$
	$1$	$-2$	$-5$	$6$
$c=1$		$1$	$-1$	$-6$
	$1$	$-1$	$-6$	$\boxed{0}$

Therefore $x^3-2x^2-5x+6 = (x-1)(x^2-x-6) = \boxed{(x-1)(x-3)(x+2)}$.

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