Monomi

Il monomio è il mattone più semplice del calcolo letterale: un numero moltiplicato per una parte letterale. Prima di sommarli, moltiplicarli o dividerli conviene imparare a riconoscerne il grado e a capire quando due monomi sono simili.

• Monomio, coefficiente e grado
• Operazioni tra monomi

The monomial is the simplest building block of algebraic calculus: a number multiplied by a literal part. Before adding, multiplying or dividing them, it is worth learning to recognise their degree and to understand when two monomials are alike.

• Monomial, coefficient and degree
• Operations between monomials

Il primo mattone del calcolo letterale è il monomio: un numero moltiplicato per una o più lettere. Riconoscerne le due parti — il coefficiente e la parte letterale — e calcolarne il grado è il punto di partenza per tutte le operazioni successive.

Definizione — Monomio

Un monomio è un’espressione algebrica formata dal prodotto di un numero (detto coefficiente) e di una o più lettere elevate a potenze intere non negative (la parte letterale).

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle lettere.

Per esempio, nel monomio $-5a^3b^2$ il coefficiente è $-5$, la parte letterale è $a^3b^2$ e il grado è $3+2=5$.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Coefficiente · Grado di un monomio · Monomio · Parte letterale

The first building block of algebraic calculus is the monomial: a number multiplied by one or more letters. Recognising its two parts — the coefficient and the literal part — and calculating its degree is the starting point for all the operations that follow.

Definition — Monomial

A monomial is an algebraic expression formed by the product of a number (called the coefficient) and one or more letters raised to non-negative integer powers (the literal part).

The degree of a monomial is the sum of the exponents of the letters.

For example, in the monomial $-5a^3b^2$ the coefficient is $-5$, the literal part is $a^3b^2$ and the degree is $3+2=5$.

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Coefficient · Degree of a monomial · Monomial · Literal part

Le quattro operazioni sui monomi seguono regole semplici, ma con un’avvertenza importante: somma e differenza si possono eseguire solo tra monomi simili, cioè con la stessa parte letterale.

Proprietà — Operazioni tra monomi

• Somma/differenza: solo tra monomi simili (stessa parte letterale); si sommano o sottraggono i coefficienti lasciando invariata la parte letterale.
• Prodotto: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
• Quoziente: si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti.
• Potenza: si eleva il coefficiente e si moltiplicano gli esponenti delle lettere.

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Monomi simili · Monomio
Competenze: Calcolare

The four operations on monomials follow simple rules, but with one important caveat: addition and subtraction can only be carried out between like monomials, that is, monomials with the same literal part.

Property — Operations between monomials

• Sum/difference: only between like monomials (same literal part); the coefficients are added or subtracted while the literal part is left unchanged.
• Product: the coefficients are multiplied and the exponents of equal letters are added.
• Quotient: the coefficients are divided and the exponents are subtracted.
• Power: the coefficient is raised to the power and the exponents of the letters are multiplied.

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Topics: Algebraic calculus
Concepts: Like monomials · Monomial
Skills: Calculating

Scrivere $-5a^3b^2$ ci sembra naturale, ma la possibilità di rappresentare le quantità con lettere e di manipolarle con pochi simboli è una conquista sorprendentemente recente. Per gran parte della sua storia l’algebra fu retorica: le equazioni si scrivevano per esteso, con frasi in lingua comune.

Dall’algebra “a parole” a quella simbolica

Gli algebristi medievali e rinascimentali — da al-Khwārizmī fino a Cardano e Tartaglia nel Cinquecento — descrivevano ancora i loro problemi quasi interamente a parole, usando al più qualche abbreviazione (l’algebra sincopata di Diofanto). Una frase come “il quadrato di una quantità aumentato di sei volte la quantità è uguale a sette” era il modo normale di enunciare quella che oggi scriviamo $x^2 + 6x = 7$.

La svolta arrivò con il francese François Viète che, nella sua In artem analyticem isagoge (1591), introdusse l’idea di indicare con le vocali ($A$, $E$, $I$, …) le quantità incognite e con le consonanti ($B$, $C$, $D$, …) quelle note. Per la prima volta si poteva scrivere una formula generale, indipendente dai numeri specifici: nasceva così l’idea di “coefficiente letterale” che sta alla base di tutto il calcolo letterale (Boyer; Katz).

I simboli che usiamo ancora oggi

Il linguaggio di Viète era ancora ingombrante (le potenze si scrivevano a parole, come A quadratum). Furono i matematici delle generazioni successive a dargli la forma moderna:

• l’inglese Robert Recorde, nel suo The Whetstone of Witte (1557), introdusse il segno di uguaglianza $=$, motivandolo con l’osservazione che nulla è più uguale di due segmenti paralleli della stessa lunghezza;
• il connazionale Thomas Harriot, nell’opera postuma Artis analyticae praxis (1631), diffuse i simboli di disuguaglianza $<$ e $>$ e l’abitudine di scrivere le potenze come prodotti ripetuti ($aaa$ per $a^3$), un passo verso la notazione con esponenti che poco dopo Cartesio avrebbe reso definitiva.

Quando in questo capitolo scrivi un monomio o sviluppi un prodotto notevole stai quindi usando un alfabeto matematico costruito, pezzo per pezzo, nell’arco di alcuni secoli (Boyer; Katz).

Video consigliati

• Translating Words into Algebra — Eddie Woo

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Argomenti: Calcolo letterale
Concetti: Monomio
Persone: Robert Recorde · Thomas Harriot · François Viète (Vieta)

Writing $-5a^3b^2$ feels natural to us, yet the ability to represent quantities with letters and manipulate them with a handful of symbols is a surprisingly recent achievement. For most of its history algebra was rhetorical: equations were written out in full, in sentences of ordinary language.

From “word” algebra to symbolic algebra

Medieval and Renaissance algebraists — from al-Khwārizmī all the way to Cardano and Tartaglia in the sixteenth century — still stated their problems almost entirely in words, using at most a few abbreviations (the syncopated algebra of Diophantus). A sentence such as “the square of a quantity increased by six times the quantity equals seven” was the normal way of stating what we now write as $x^2 + 6x = 7$.

The turning point came with the Frenchman François Viète who, in his In artem analyticem isagoge (1591), introduced the idea of denoting the unknown quantities by vowels ($A$, $E$, $I$, …) and the known ones by consonants ($B$, $C$, $D$, …). For the first time one could write a general formula, independent of the specific numbers: this is the origin of the “literal coefficient” that lies at the foundation of all literal calculus (Boyer; Katz).

The symbols we still use today

Viète’s language was still cumbersome (powers were written out in words, as A quadratum). It was the mathematicians of the following generations who gave it its modern form:

• the Englishman Robert Recorde, in his The Whetstone of Witte (1557), introduced the equals sign $=$, justifying it with the remark that nothing can be more equal than two parallel segments of the same length;
• his countryman Thomas Harriot, in the posthumous Artis analyticae praxis (1631), spread the inequality symbols $<$ and $>$ and the habit of writing powers as repeated products ($aaa$ for $a^3$), a step towards the exponent notation that Descartes would soon make definitive.

So when in this chapter you write a monomial or expand a special product, you are using a mathematical alphabet built up, piece by piece, over several centuries (Boyer; Katz).

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