Il più piccolo numero ambiguo in Paritania

Testo

Nel paese di Paritania esistono soltanto i numeri pari $2,4,6,8,\dots$ Un numero pari si dice p-primo se non è il prodotto di due numeri pari (per esempio $6$ è p-primo: $6=2\cdot 3$ non vale, perché a Paritania il $3$ non esiste), e p-composto altrimenti. Qual è il più piccolo numero che si può scomporre in fattori p-primi in due modi diversi?

Soluzione

Un pari è prodotto di due pari se e solo se è divisibile per $4$. Quindi i numeri p-primi sono i pari non multipli di $4$, cioè $2,6,10,14,18,\dots$ (quelli congrui a $2$ modulo $4$). Controlliamo i multipli di $4$ in ordine: $4=2\cdot2$, $8=2\cdot2\cdot2$, $12=2\cdot6$, $16=2\cdot2\cdot2\cdot2$, $20=2\cdot10$, $24=2\cdot2\cdot6$, $28=2\cdot14$, $32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$: ognuno ha un’unica scomposizione in p-primi. Invece $36 = 2\cdot 18 = 6\cdot 6,$ con $2,18,6$ tutti p-primi: due scomposizioni distinte. Il più piccolo numero ambiguo è dunque $\boxed{36}$.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Divisibilita · Fattorizzazione in primi
Competenze: Ragionare per casi · Scomporre
Tipo di esercizio: Scomposizione