Il numero di Euclide dei primi fino a 13

Testo

Euclide dimostra che i numeri primi sono infiniti così: presi alcuni primi, li moltiplica tutti e aggiunge $1$. Partendo da $2,3,5,7,11,13$, calcola $E = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 + 1,$ verifica che non è divisibile per nessuno di quei primi e fattorizzalo: quali nuovi primi compaiono?

Soluzione

Il prodotto vale $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13 = 30030$, quindi $E = 30031$. Diviso per ciascuno dei sei primi, $E$ lascia sempre resto $1$: nessuno di essi lo divide. Fattorizzando si trova $E = 30031 = \boxed{59\cdot 509},$ con $59$ e $509$ entrambi primi e nuovi rispetto alla lista di partenza. È proprio questo il cuore dell’argomento di Euclide: il numero costruito rivela sempre almeno un primo non ancora elencato.

Collegamenti

Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Fattorizzazione in primi · Numero primo
Competenze: Ragionare per casi · Scomporre
Tipo di esercizio: Scomposizione