Ippaso e l'incommensurabilità di radice 2

Perché ci serve un insieme più grande dei razionali $\mathbb{Q}$? La risposta storica nasce da una crisi. Per i seguaci di Pitagora di Samo (VI secolo a.C.) valeva il motto “tutto è numero”: erano convinti che ogni lunghezza si potesse esprimere come rapporto $\dfrac{p}{q}$ tra due interi. Due segmenti si dicono commensurabili se esiste una piccola unità di misura comune che entra un numero intero di volte in entrambi; per i pitagorici ogni coppia di segmenti doveva esserlo.

La scoperta che manda in frantumi questa convinzione riguarda la cosa più semplice del mondo: un quadrato di lato $1$. Per il teorema di Pitagora la sua diagonale $d$ soddisfa $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, \qquad \text{cioè}\qquad d = \sqrt{2}.$ La tradizione attribuisce a Ippaso di Metaponto (V secolo a.C.), pitagorico della Magna Grecia, la dimostrazione che $\sqrt{2}$ non è un rapporto tra interi: lato e diagonale del quadrato sono incommensurabili. Fu la nascita dei numeri irrazionali e il primo grande scandalo della matematica greca (Boyer).

Perché $\sqrt{2}$ non è razionale

Supponiamo per assurdo che $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ con $p, q$ interi senza fattori comuni (frazione già ridotta ai minimi termini). Elevando al quadrato: $2 = \frac{p^2}{q^2} \;\Longrightarrow\; p^2 = 2q^2.$ Allora $p^2$ è pari, quindi anche $p$ è pari: scriviamo $p = 2k$. Sostituendo, $4k^2 = 2q^2$, da cui $q^2 = 2k^2$: dunque anche $q^2$ è pari e quindi $q$ è pari. Ma se $p$ e $q$ sono entrambi pari hanno il fattore $2$ in comune, contro l’ipotesi che la frazione fosse ridotta. La contraddizione mostra che $\sqrt{2}$ non può scriversi come $\dfrac{p}{q}$: è irrazionale.

La leggenda — quasi certamente romanzata — vuole che Ippaso sia stato punito con l’annegamento per aver divulgato questo segreto inaccettabile (Dunham). Al di là dell’aneddoto, il significato è enorme: i razionali $\mathbb{Q}$ non bastano nemmeno a misurare la diagonale di un quadrato, e occorre l’insieme più ampio dei numeri reali $\mathbb{R}$, che contiene anche gli irrazionali come $\sqrt{2}$ e $\pi$ (Kline). La sistemazione rigorosa di questo ampliamento arriverà solo nell’Ottocento, ma la domanda che lo rende necessario è vecchia di venticinque secoli.

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Argomenti: Numeri e operazioni
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