Insiemi dei numeri

Non tutti i numeri sono dello stesso tipo. Partendo dai naturali, ogni volta che un’operazione ci porta “fuori” dall’insieme di partenza siamo spinti ad ampliarlo: nascono così gli interi, i razionali e i reali, in una catena di inclusioni $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Chiude la sezione la storia dello zero, il numero che rese possibile la notazione posizionale.

• Gli insiemi numerici N, Z, Q, R
• Lo zero e la notazione posizionale

Not all numbers are of the same kind. Starting from the naturals, every time an operation takes us “outside” the starting set, we are pushed to widen it: this is how the integers, the rationals and the reals are born, in a chain of inclusions $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. The section closes with the history of zero, the number that made positional notation possible.

• The number sets N, Z, Q, R
• Zero and positional notation

I numeri che usiamo non sono tutti dello stesso tipo. Man mano che le esigenze del calcolo crescono, siamo costretti ad ampliare il nostro “universo numerico”: dai naturali agli interi, poi ai razionali e infine ai reali.

Definizione — Gli insiemi numerici

• $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$   numeri naturali
• $\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$   numeri interi
• $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} : p\in\mathbb{Z},\; q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}$   numeri razionali
• $\mathbb{R}$   numeri reali (includono anche gli irrazionali, come $\sqrt{2}$ e $\pi$)

Ogni insieme è contenuto nel successivo: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

La catena di inclusioni si visualizza con quattro “scatole” una dentro l’altra: ogni ampliamento aggiunge nuovi numeri senza perdere quelli precedenti.

Gli insiemi numerici, uno contenuto nell’altro: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

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Argomenti: Numeri e operazioni
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The numbers we use are not all of the same kind. As the demands of calculation grow, we are forced to widen our “numerical universe”: from the naturals to the integers, then to the rationals and finally to the reals.

Definition — The number sets

• $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$   natural numbers
• $\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$   integer numbers
• $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} : p\in\mathbb{Z},\; q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}$   rational numbers
• $\mathbb{R}$   real numbers (they also include the irrationals, such as $\sqrt{2}$ and $\pi$)

Each set is contained in the next: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

The chain of inclusions is visualised with four “boxes” one inside the other: each widening adds new numbers without losing the previous ones.

The number sets, one contained in the other: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

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Storia — Lo zero e la notazione posizionale

Il simbolo "$0$" che oggi diamo per scontato è una conquista relativamente recente. I matematici greci e romani non avevano un simbolo per lo zero: nel sistema romano era impossibile scrivere “zero pecore” senza usare delle parole. Furono i matematici dell’India, intorno al V—VI secolo d.C., a introdurre uno zero come segnaposto e poi come vero numero a tutti gli effetti. Il termine sanscrito śūnya (“vuoto”) passò all’arabo come sifr, da cui derivano sia “zero” sia “cifra”.

Il sistema posizionale indo-arabo arrivò in Europa grazie ai matematici islamici e fu reso popolare da Leonardo Pisano, detto Fibonacci, nel suo Liber Abaci (1202): un libro che spiegava il vantaggio del nuovo sistema rispetto ai numeri romani — ad esempio, riusciva a moltiplicare due numeri di tre cifre senza ricorrere all’abaco. Ci vollero comunque oltre due secoli perché lo zero fosse pienamente accettato dai mercanti e dagli amministratori europei (cfr. Boyer, Storia della matematica, cap. 9).

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Persone: Leonardo Fibonacci

History — Zero and positional notation

The symbol "$0$" that we take for granted today is a relatively recent achievement. Greek and Roman mathematicians had no symbol for zero: in the Roman system it was impossible to write “zero sheep” without using words. It was the mathematicians of India, around the 5th–6th century AD, who introduced a zero as a placeholder and then as a genuine number in every respect. The Sanskrit term śūnya (“empty”) passed into Arabic as sifr, from which both “zero” and “cipher” derive.

The Indo-Arabic positional system reached Europe thanks to the Islamic mathematicians and was made popular by Leonardo Pisano, known as Fibonacci, in his Liber Abaci (1202): a book that explained the advantage of the new system over Roman numerals — for example, it managed to multiply two three-digit numbers without resorting to the abacus. It nevertheless took more than two centuries for zero to be fully accepted by European merchants and administrators (cf. Boyer, A History of Mathematics, ch. 9).

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Perché ci serve un insieme più grande dei razionali $\mathbb{Q}$? La risposta storica nasce da una crisi. Per i seguaci di Pitagora di Samo (VI secolo a.C.) valeva il motto “tutto è numero”: erano convinti che ogni lunghezza si potesse esprimere come rapporto $\dfrac{p}{q}$ tra due interi. Due segmenti si dicono commensurabili se esiste una piccola unità di misura comune che entra un numero intero di volte in entrambi; per i pitagorici ogni coppia di segmenti doveva esserlo.

La scoperta che manda in frantumi questa convinzione riguarda la cosa più semplice del mondo: un quadrato di lato $1$. Per il teorema di Pitagora la sua diagonale $d$ soddisfa $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, \qquad \text{cioè}\qquad d = \sqrt{2}.$ La tradizione attribuisce a Ippaso di Metaponto (V secolo a.C.), pitagorico della Magna Grecia, la dimostrazione che $\sqrt{2}$ non è un rapporto tra interi: lato e diagonale del quadrato sono incommensurabili. Fu la nascita dei numeri irrazionali e il primo grande scandalo della matematica greca (Boyer).

Perché $\sqrt{2}$ non è razionale

Supponiamo per assurdo che $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ con $p, q$ interi senza fattori comuni (frazione già ridotta ai minimi termini). Elevando al quadrato: $2 = \frac{p^2}{q^2} \;\Longrightarrow\; p^2 = 2q^2.$ Allora $p^2$ è pari, quindi anche $p$ è pari: scriviamo $p = 2k$. Sostituendo, $4k^2 = 2q^2$, da cui $q^2 = 2k^2$: dunque anche $q^2$ è pari e quindi $q$ è pari. Ma se $p$ e $q$ sono entrambi pari hanno il fattore $2$ in comune, contro l’ipotesi che la frazione fosse ridotta. La contraddizione mostra che $\sqrt{2}$ non può scriversi come $\dfrac{p}{q}$: è irrazionale.

La leggenda — quasi certamente romanzata — vuole che Ippaso sia stato punito con l’annegamento per aver divulgato questo segreto inaccettabile (Dunham). Al di là dell’aneddoto, il significato è enorme: i razionali $\mathbb{Q}$ non bastano nemmeno a misurare la diagonale di un quadrato, e occorre l’insieme più ampio dei numeri reali $\mathbb{R}$, che contiene anche gli irrazionali come $\sqrt{2}$ e $\pi$ (Kline). La sistemazione rigorosa di questo ampliamento arriverà solo nell’Ottocento, ma la domanda che lo rende necessario è vecchia di venticinque secoli.

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Persone: Ippaso · Pitagora

Why do we need a set larger than the rationals $\mathbb{Q}$? The historical answer springs from a crisis. For the followers of Pythagoras of Samos (6th century BC) the motto was “all is number”: they were convinced that every length could be expressed as a ratio $\dfrac{p}{q}$ of two integers. Two segments are called commensurable if there exists a small common unit of measure that fits a whole number of times into both; for the Pythagoreans every pair of segments had to be so.

The discovery that shatters this belief concerns the simplest thing in the world: a square of side $1$. By the Pythagorean theorem its diagonal $d$ satisfies $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, \qquad \text{that is}\qquad d = \sqrt{2}.$ Tradition attributes to Hippasus of Metapontum (5th century BC), a Pythagorean from Magna Graecia, the proof that $\sqrt{2}$ is not a ratio of integers: the side and the diagonal of the square are incommensurable. This was the birth of the irrational numbers and the first great scandal of Greek mathematics (Boyer).

Why $\sqrt{2}$ is not rational

Suppose, for contradiction, that $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ with $p, q$ integers having no common factors (a fraction already reduced to lowest terms). Squaring: $2 = \frac{p^2}{q^2} \;\Longrightarrow\; p^2 = 2q^2.$ Then $p^2$ is even, hence $p$ too is even: write $p = 2k$. Substituting, $4k^2 = 2q^2$, so $q^2 = 2k^2$: therefore $q^2$ is even and hence $q$ is even. But if $p$ and $q$ are both even they share the factor $2$, against the hypothesis that the fraction was in lowest terms. The contradiction shows that $\sqrt{2}$ cannot be written as $\dfrac{p}{q}$: it is irrational.

The legend — almost certainly embellished — has it that Hippasus was punished by drowning for disclosing this unacceptable secret (Dunham). Beyond the anecdote, the significance is enormous: the rationals $\mathbb{Q}$ are not even enough to measure the diagonal of a square, and one needs the wider set of the real numbers $\mathbb{R}$, which also contains the irrationals such as $\sqrt{2}$ and $\pi$ (Kline). The rigorous construction of this extension would arrive only in the nineteenth century, but the question that makes it necessary is twenty-five centuries old.

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