Proprietà delle operazioni

Le operazioni godono di proprietà che permettono di riscrivere le espressioni in forme equivalenti più comode. Dopo aver dato un nome ai termini di una somma, studiamo la proprietà commutativa e quella associativa, con un’avvertenza importante: valgono solo per l’addizione, non per la sottrazione.

• Termini di una somma
• Proprietà commutativa della somma
• Proprietà associativa della somma
• Commutativa e associativa con la sottrazione

Operations enjoy properties that allow us to rewrite expressions in more convenient equivalent forms. After giving a name to the terms of a sum, we study the commutative and associative properties, with an important warning: they hold only for addition, not for subtraction.

• Terms of a sum
• Commutative property of addition
• Associative property of addition
• Commutative and associative with subtraction

Prima di enunciare le proprietà delle operazioni conviene fissare un nome per gli “ingredienti” di una somma.

Definizione — Termini

I termini di una somma sono gli elementi (numeri singoli o gruppi riuniti da parentesi o da operazioni con precedenza) che compongono una somma algebrica.

Esempio

Nell’espressione $3 + (2+5) + 3\cdot 4$ ci sono tre termini:

1. $3$
2. $(2+5)$
3. $3\cdot 4$

Riconoscere i termini è il primo passo per applicare correttamente le proprietà commutativa e associativa.

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Espressione numerica · Termine

Before stating the properties of operations, it is worth fixing a name for the “ingredients” of a sum.

Definition — Terms

The terms of a sum are the elements (single numbers or groups joined by brackets or by operations with precedence) that make up an algebraic sum.

Example

In the expression $3 + (2+5) + 3\cdot 4$ there are three terms:

1. $3$
2. $(2+5)$
3. $3\cdot 4$

Recognising the terms is the first step towards correctly applying the commutative and associative properties.

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Numerical expression · Term

Le operazioni godono di alcune proprietà che permettono di semplificare i calcoli e riscrivere le espressioni in forme equivalenti più comode. La prima riguarda l’ordine dei termini.

Proprietà — Commutativa della somma

In una somma di più numeri si può cambiare l’ordine dei termini ottenendo un’espressione equivalente: $3 + 7 + 1 + 4 = 7 + 4 + 3 + 1.$

Cambiare l’ordine degli addendi non altera mai il risultato: possiamo quindi riordinare i termini per rendere i conti più rapidi.

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Proprieta commutativa · Termine

Operations enjoy some properties that allow us to simplify calculations and rewrite expressions in more convenient equivalent forms. The first concerns the order of the terms.

Property — Commutative property of addition

In a sum of several numbers, the order of the terms can be changed, obtaining an equivalent expression: $3 + 7 + 1 + 4 = 7 + 4 + 3 + 1.$

Changing the order of the addends never alters the result: we can therefore rearrange the terms to make the calculations quicker.

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Commutative property · Term

La seconda proprietà fondamentale della somma riguarda il modo di raggruppare i termini.

Proprietà — Associativa della somma

In una somma di termini si possono raggruppare termini consecutivi in un unico termine: $3 + 7 + 1 = (3+7) + 1 = 3 + (7+1).$

Possiamo quindi eseguire le addizioni nell’ordine che preferiamo, raccogliendo prima i termini che danno somme comode (per esempio quelli che formano decine).

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Proprieta associativa · Termine

The second fundamental property of addition concerns the way of grouping the terms.

Property — Associative property of addition

In a sum of terms, consecutive terms can be grouped into a single term: $3 + 7 + 1 = (3+7) + 1 = 3 + (7+1).$

We can therefore carry out the additions in whatever order we prefer, collecting first the terms that give convenient sums (for example, those that form tens).

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Associative property · Term

Un errore molto frequente è applicare le proprietà della somma anche alle sottrazioni. Attenzione: non funziona così.

Attenzione — Commutativa e associativa con la sottrazione

Le proprietà commutativa e associativa valgono solo per l’addizione. Per applicarle quando ci sono sottrazioni, bisogna prima riscrivere ogni sottrazione come addizione dell’opposto: $3 - 2 = 3 + (-1)\cdot 2, \qquad -7 - 4 = (-1)\cdot 7 + (-1)\cdot 4.$

Esempio. $3 - 4 + 7 - 1 = 3 + (-1)\cdot 4 + 7 + (-1)\cdot 1$.

• ✓ Commutativa corretta: $(-1)\cdot 4 + 3 + (-1)\cdot 1 + 7$
• ⚠ Commutativa sbagliata: $4 - 3 + 1 - 7$   NO!
• ✓ Associativa corretta: $3 + [(-1)\cdot 4 + 7] + (-1)\cdot 1$
• ⚠ Associativa sbagliata: $3 - (4+7) - 1$   NO!

La regola pratica: ogni segno "$-$" appartiene al termine che lo segue e deve viaggiare con esso quando si riordina o si raggruppa.

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Argomenti: Numeri e operazioni
Concetti: Proprieta associativa · Proprieta commutativa
Competenze: Calcolare

A very common mistake is to apply the properties of addition to subtractions as well. Beware: it does not work like that.

Beware — Commutative and associative with subtraction

The commutative and associative properties hold only for addition. To apply them when there are subtractions, you must first rewrite each subtraction as the addition of the opposite: $3 - 2 = 3 + (-1)\cdot 2, \qquad -7 - 4 = (-1)\cdot 7 + (-1)\cdot 4.$

Example. $3 - 4 + 7 - 1 = 3 + (-1)\cdot 4 + 7 + (-1)\cdot 1$.

• ✓ Correct commutative: $(-1)\cdot 4 + 3 + (-1)\cdot 1 + 7$
• ⚠ Wrong commutative: $4 - 3 + 1 - 7$   NO!
• ✓ Correct associative: $3 + [(-1)\cdot 4 + 7] + (-1)\cdot 1$
• ⚠ Wrong associative: $3 - (4+7) - 1$   NO!

The practical rule: every "$-$" sign belongs to the term that follows it and must travel with it when rearranging or grouping.

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Topics: Numbers and operations
Concepts: Associative property · Commutative property
Skills: Calculating