Distribuzione esponenziale

L’esponenziale è il modello dei tempi di attesa: quanto passa prima del prossimo decadimento, del prossimo arrivo, del prossimo guasto. È strettamente legata alla distribuzione di Poisson (che conta gli eventi) e al decadimento radioattivo.

Proprietà — $X\sim\text{Exp}(\lambda)$

Modella i tempi di attesa tra eventi (decadimenti, arrivi, guasti). $f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x} \text{ per } x\ge 0, \qquad f(x)=0 \text{ per } x<0.$ Media $1/\lambda$, varianza $1/\lambda^2$. La funzione di ripartizione è $F(x) = 1-e^{-\lambda x}$.

Osservazione — Collegamento con le ODE

La distribuzione esponenziale è la stessa funzione che compare nella soluzione dell’ODE $y'=-\lambda y$: il decadimento radioattivo. Non è un caso: la probabilità di sopravvivenza $P(X>t) = e^{-\lambda t}$ soddisfa esattamente quell’equazione differenziale.

Distribuzione esponenziale per tre valori di $\lambda$: $\lambda$ grande significa attese brevi (curva che decade in fretta, partendo alta), $\lambda$ piccolo attese lunghe.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Densita di probabilita · Distribuzione esponenziale · Funzione di ripartizione
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare