Distribuzioni di probabilità

Il calcolo delle probabilità visto in Quarta descriveva singoli eventi; ora facciamo un passo avanti e studiamo le variabili casuali, cioè grandezze il cui valore dipende dal caso, insieme alle loro distribuzioni di probabilità. Il capitolo introduce media, varianza e deviazione standard di una distribuzione, poi passa in rassegna i modelli discreti più importanti — la binomiale, la Poisson e l’ipergeometrica — e i modelli continui — la gaussiana (la campana di Gauss) e l’esponenziale — chiudendo con la funzione di ripartizione che le unifica. Due appendici culturali mostrano fino a dove arrivano queste idee: l’entropia di Shannon, che misura l’incertezza di una sorgente aleatoria, e l’aritmetica modulare con la crittografia RSA, dove l’aritmetica elementare diventa la base della sicurezza digitale.

Sezioni

• Variabili casuali
• Distribuzioni discrete
• Distribuzioni continue
• Funzione di ripartizione (cumulata)

Approfondimenti

• Appendice culturale: l’entropia di Shannon
• Appendice culturale: aritmetica modulare e crittografia RSA

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

The probability theory seen in Year Four described single events; now we take a step forward and study random variables, that is, quantities whose value depends on chance, together with their probability distributions. The chapter introduces the mean, variance and standard deviation of a distribution, then reviews the most important discrete models — the binomial, the Poisson and the hypergeometric — and the continuous models — the Gaussian (the Gaussian bell curve) and the exponential — closing with the cumulative distribution function that unifies them. Two cultural appendices show how far these ideas reach: the Shannon entropy, which measures the uncertainty of a random source, and modular arithmetic with RSA cryptography, where elementary arithmetic becomes the foundation of digital security.

Sections

• Random variables
• Discrete distributions
• Continuous distributions
• Cumulative distribution function

Further topics

• Cultural appendix: Shannon entropy
• Cultural appendix: modular arithmetic and RSA cryptography

Exercises

• All the exercises of the chapter

Tutte le distribuzioni — discrete e continue — si possono descrivere con un unico strumento: la funzione di ripartizione, che accumula la probabilità fino a un certo valore.

Definizione — Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione (o cumulata) di $X$ è $F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.$ È crescente e va da $0$ a $1$. Per calcolare la probabilità di un intervallo si usa la differenza: $P(a\le X\le b) = F(b)-F(a).$

Il vantaggio pratico è enorme: una volta nota $F$, ogni probabilità di intervallo si riduce a una sottrazione. È proprio la logica delle tabelle della normale standard, dove si legge $F$ e si combinano i valori.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Densita di probabilita · Funzione di ripartizione
Competenze: Usare formule

All distributions — discrete and continuous — can be described with a single tool: the cumulative distribution function, which accumulates the probability up to a given value.

Definition — Cumulative distribution function

The cumulative distribution function of $X$ is $F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.$ It is increasing and goes from $0$ to $1$. To compute the probability of an interval one uses the difference: $P(a\le X\le b) = F(b)-F(a).$

The practical advantage is enormous: once $F$ is known, every interval probability reduces to a subtraction. This is exactly the logic of the standard normal tables, where one reads $F$ and combines the values.

Links

Topics: Distribuzioni probabilita
Concepts: Densita di probabilita · Funzione di ripartizione
Skills: Usare formule

Il punto di partenza di tutto il capitolo è l’idea di variabile casuale: un modo per tradurre in numeri l’esito di un esperimento governato dal caso.

Definizione — Variabile casuale

Una variabile casuale $X$ è una funzione che associa a ogni esito di un esperimento aleatorio un numero reale. Intuitivamente: è una “grandezza” il cui valore dipende dal caso.

Esempio

• Lancio un dado: $X$ = “numero uscito”. Valori possibili: $1,2,3,4,5,6$.
• Misuro la statura di una persona scelta a caso: $X$ = “statura in cm”. Valori possibili: un intervallo continuo (es. $[140, 210]$).

Il primo è un esempio di variabile casuale discreta; il secondo di variabile continua.

La distinzione tra discreta (valori isolati, elencabili) e continua (un intero intervallo di valori) guida tutto il resto del capitolo: alle prime associamo una distribuzione fatta di probabilità puntuali, alle seconde una funzione densità.

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Variabile aleatoria
Competenze: Modellizzare

The starting point of the whole chapter is the idea of a random variable: a way of translating into numbers the outcome of an experiment governed by chance.

Definition — Random variable

A random variable $X$ is a function that assigns a real number to each outcome of a random experiment. Intuitively: it is a “quantity” whose value depends on chance.

Example

• I roll a die: $X$ = “number rolled”. Possible values: $1,2,3,4,5,6$.
• I measure the height of a randomly chosen person: $X$ = “height in cm”. Possible values: a continuous interval (e.g. $[140, 210]$).

The first is an example of a discrete random variable; the second of a continuous variable.

The distinction between discrete (isolated, countable values) and continuous (a whole interval of values) guides all the rest of the chapter: to the former we associate a distribution made of pointwise probabilities, to the latter a density function.

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Topics: Distribuzioni probabilita
Concepts: Variabile aleatoria
Skills: Modellizzare