Il problema della brachistocrona

Nel giugno del 1696 Johann Bernoulli lanciò sulla rivista Acta Eruditorum una sfida ai «più acuti matematici del mondo»: date due punti $A$ e $B$ a quote diverse, trovare la curva lungo la quale una pallina, partendo da ferma e scivolando senza attrito sotto l’azione della gravità, raggiunge $B$ nel tempo più breve. È il problema della brachistocrona (dal greco bráchistos, «brevissimo», e chrónos, «tempo»).

La risposta sorprende: non è il segmento rettilineo, che pure è il cammino più corto, bensì un arco di cicloide, la curva descritta da un punto sul bordo di una ruota che rotola. Su un tratto iniziale più ripido la pallina accelera prima, e questo guadagno di velocità compensa la maggiore lunghezza.

Alla sfida risposero i più grandi dell’epoca: Johann e suo fratello Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, il marchese de l’Hôpital e, in forma anonima, Isaac Newton — che, si racconta, risolse il problema in una sola notte; leggendo la soluzione senza firma Johann Bernoulli avrebbe esclamato di «riconoscere il leone dall’artiglio».

Il problema chiedeva di minimizzare non un numero ma un integrale, $T = \int_A^B \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\,dx,$ cioè una quantità che dipende da tutta la funzione incognita $y(x)$. La sua soluzione diede l’impulso decisivo alla nascita del calcolo delle variazioni, sistemato poi da Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange: la loro equazione di Eulero-Lagrange, che caratterizza la curva ottimale, è essa stessa un’equazione differenziale. Così un enigma sul moto di una pallina si rivelò uno dei primi grandi problemi risolti proprio con le equazioni differenziali (Boyer; Dunham).

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Equazione differenziale
Persone: Jacob Bernoulli · Leonhard Euler (Eulero) · Guillaume de l’Hôpital · Joseph-Louis Lagrange · Gottfried Leibniz · Isaac Newton