Funzione integrale del logaritmo con estremo esponenziale

Testo

Sia $F(x)=\int_1^{e^{x}}\ln t\,dt.$ (a) Verifica, integrando per parti, che $G(t)=t\ln t-t$ è una primitiva di $\ln t$, e calcola $F(0)$ e $F(\ln 3)$. (b) Calcola $F'(x)$ usando il teorema fondamentale del calcolo. (c) Determina i punti stazionari e, tramite $F''$, la loro natura.

Soluzione

(a) Primitiva e valori. Integrando per parti con $u=\ln t$, $dv=dt$: $\int\ln t\,dt=t\ln t-\int t\cdot\frac1t\,dt=t\ln t-t=G(t).$ Infatti $G'(t)=\ln t+t\cdot\frac1t-1=\ln t$. ✓

$F(0)=\int_1^{e^0}\ln t\,dt=\int_1^1\ln t\,dt=0.$ $F(\ln 3)=\int_1^{e^{\ln 3}}\ln t\,dt=\int_1^3\ln t\,dt=\big[t\ln t-t\big]_1^3=(3\ln 3-3)-(0-1)=3\ln 3-2\approx 1.2958.$

(b) Derivata. Per il teorema fondamentale con la regola della catena, estremo superiore $e^x$: $F'(x)=\ln\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}=x\,e^{x}.$

(c) Punti stazionari. Poiché $e^x>0$, $F'(x)=x\,e^{x}=0 \iff x=0.$ Deriviamo: $F''(x)=e^x+x e^x=e^x(1+x)$, con $F''(0)=1>0$: dunque $x=0$ è un punto di minimo (e $F(0)=0$).

$\boxed{F(0)=0,\quad F(\ln 3)=3\ln 3-2\approx 1.2958,\quad F'(x)=x e^{x},\quad x_{staz}=0\ (\text{minimo})}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Primitiva · Punto stazionario · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Derivare · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata