Media integrale di x^2 sull'intervallo [0,3]

Testo

Calcola la media integrale di $f(x)=x^2$ sull’intervallo $[0,3]$, determina il punto $c\in(0,3)$ previsto dal teorema della media integrale e verifica che $f(c)=\mu$.

Soluzione

Media integrale. $\mu=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac13\cdot 9=3.$

Punto $c$. Imponiamo $f(c)=\mu$: $c^2=3 \implies c=\sqrt3\approx 1.7321\in(0,3).$

Verifica. $f(\sqrt3)=(\sqrt3)^2=3=\mu$. ✓

$\boxed{\mu=3,\qquad c=\sqrt3\approx 1.7321}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Media integrale · Teorema della media integrale
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale