Media integrale di 1/x sull'intervallo [1,3]

Testo

Calcola la media integrale di $f(x)=\dfrac1x$ nell’intervallo $[1,3]$ e determina il punto $c$ previsto dal teorema della media integrale.

Soluzione

Media integrale. Per definizione $\mu=\frac{1}{3-1}\int_1^3\frac{dx}{x}=\frac12\big[\ln x\big]_1^3=\frac12\ln 3\approx 0.5493.$

Punto $c$. Il teorema della media garantisce l’esistenza di $c\in(1,3)$ con $f(c)=\mu$: $\frac1c=\frac12\ln 3 \implies c=\frac{2}{\ln 3}\approx 1.8205\in(1,3).$

$\boxed{\mu=\tfrac12\ln 3\approx 0.5493,\qquad c=\dfrac{2}{\ln 3}\approx 1.8205}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Media integrale · Teorema della media integrale
Competenze: Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale