Funzione integrale con gaussiana e approssimazione lineare

Testo

Sia $F(x)=\int_2^{x^2+x}e^{-t^2}\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}.$ (a) Calcola $F'(x)$. (b) Determina l’approssimazione polinomiale di primo grado di $F$ in un intorno di $x=1$ e usala per calcolare $\lim_{x\to 1}\frac{F(x)}{x-1}.$

Soluzione

(a) Derivata. Per il teorema fondamentale del calcolo con la regola della catena, posto $u(x)=x^2+x$ ($u'(x)=2x+1$) e integranda $e^{-t^2}$, $F'(x)=e^{-(x^2+x)^2}\,(2x+1).$

(b) Approssimazione lineare in $x=1$. In $x=1$ si ha $x^2+x=2$, quindi l’estremo superiore coincide con quello inferiore e $F(1)=\int_2^2 e^{-t^2}\,dt=0.$ Inoltre $F'(1)=e^{-(2)^2}\,(2\cdot 1+1)=3e^{-4}.$ L’approssimazione di primo grado (sviluppo di Taylor) è $F(x)\approx F(1)+F'(1)(x-1)=3e^{-4}(x-1).$

Limite. Poiché $F(1)=0$, il rapporto è la definizione di derivata: $\lim_{x\to 1}\frac{F(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=F'(1)=3e^{-4}\approx 0.0549.$

$\boxed{F'(x)=e^{-(x^2+x)^2}(2x+1),\qquad \lim_{x\to 1}\frac{F(x)}{x-1}=3e^{-4}\approx 0.0549}$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Limite · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Derivare
Tipo di esercizio: Calcolo derivata