L'integrale definito come somma di differenziali

Nel capitolo sulle derivate abbiamo visto che il differenziale $df = f'(x)\,dx$ misura la variazione infinitesima di una funzione. L’integrale è l’operazione inversa: è una somma infinita di differenziali.

Definizione — L'integrale definito

L’integrale definito di $f$ da $a$ a $b$ è la somma di infiniti rettangolini infinitesimi di base $dx$ e altezza $f(x)$: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N f(x_i)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{N}.$ Il simbolo $\int$ è una “S” allungata (da summa); $dx$ è il “pezzettino” infinitesimo della variabile; $a$ e $b$ sono gli estremi di integrazione.

Ogni rettangolino ha base $dx$ (infinitesima) e altezza $f(x)$: la sua area è $dA = f(x)\,dx$, un differenziale di area. L’integrale è la somma di tutti questi differenziali, “da $x=a$ a $x=b$”. Facendo il limite $\Delta x \to 0$ e rendendo infinito il numero $N$ dei rettangolini, la somma diventa esatta e coincide con l’area della regione compresa tra il grafico di $f$, l’asse $x$ e le rette $x=a$, $x=b$.

L’area sottesa (in verde) è approssimata da tanti rettangolini di base $dx$ e altezza $f(x)$: l’integrale è il limite della loro somma quando $dx\to 0$.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Differenziale · Integrale definito · Somma di riemann
Competenze: Integrare