Disegnare grafici con monotonia, segno e concavità assegnati

Testo

Disegna:

• (a) il grafico di una funzione $f(x)$ sempre decrescente, sempre positiva e sempre convessa;
• (b) il grafico di una funzione $f(x)$ negativa prima di $x=-1$ e positiva dopo; inoltre concava prima di $x=3$ e convessa dopo;
• (c) il grafico di una funzione convessa per $-3<x<3$ e concava altrove, sempre negativa, crescente fino a $x=-5$ e poi decrescente.

Soluzione

(a) Serve una curva sopra l’asse $x$, che scende ma con pendenza sempre meno ripida e concavità verso l’alto: per esempio un ramo di esponenziale decrescente $f(x)=e^{-x}$ (positiva, decrescente, $f''>0$).

(b) La funzione taglia l’asse $x$ in $x=-1$ passando da negativa a positiva; la concavità cambia in $x=3$ (flesso), da concava (verso il basso) a convessa (verso l’alto). Si disegna una curva crescente che attraversa $(-1,0)$, con un flesso a $x=3$.

(c) Grafico interamente sotto l’asse $x$, con un massimo relativo in $x=-5$ (prima cresce, poi decresce) e due flessi in $x=-3$ e $x=3$ che separano le zone convesse/concave: concava per $x<-3$, convessa per $-3<x<3$, concava per $x>3$.

Le soluzioni non sono uniche: qualsiasi grafico coerente con le condizioni di segno, monotonia e concavità è accettabile.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Concavita convessita · Crescenza decrescenza · Segno di una funzione
Competenze: Disegnare grafico · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Costruzione grafico