La funzione di Weierstrass

Fino alla metà dell’Ottocento quasi tutti i matematici davano per scontato che una funzione continua dovesse essere derivabile «quasi ovunque»: al più poteva avere qualche spigolo isolato, come $f(x)=|x|$ nell’origine. L’intuizione geometrica — un grafico che si traccia senza staccare la penna sembra avere una tangente in ogni punto — pareva confermarlo.

Nel 1872 Karl Weierstrass presentò all’Accademia di Berlino un controesempio clamoroso: una funzione continua in ogni punto della retta reale ma derivabile in nessun punto. La sua costruzione è una serie di funzioni: $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x),$ dove $0 < a < 1$ e $b$ è un intero dispari scelto in modo che $ab > 1 + \tfrac{3}{2}\pi$. La condizione $a<1$ rende la serie totalmente convergente, quindi $W$ è continua; ma il fattore $b^n$, crescendo senza limite, introduce oscillazioni sempre più fitte a ogni scala, così che il rapporto incrementale non converge mai a un valore finito. Il grafico è autosimile: ingrandendo un qualsiasi tratto si ritrova la stessa irregolarità frastagliata, un tratto anticipatore dei frattali.

Il risultato ebbe l’effetto di un terremoto. Mostrava che l’intuizione visiva non era una guida affidabile e che l’analisi doveva fondarsi soltanto su definizioni rigorose, come quelle basate su $\varepsilon$ e $\delta$. Si scoprì poi che già intorno al 1830 Bernhard Bolzano aveva costruito un esempio simile, rimasto però inedito per decenni (Boyer, Katz).

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Persone: Bernard Bolzano · Karl Weierstrass