Newton contro bisezione e casi di fallimento

Newton è molto più veloce della bisezione, ma paga questa velocità con una minore robustezza: può non convergere se le condizioni iniziali sono sfavorevoli.

Esempio — Confronto con la bisezione

La bisezione applicata a $x^2-2=0$ su $[1,2]$ dà errore $<10^{-6}$ dopo circa $20$ iterazioni; Newton lo fa in $4$. Trade-off: la bisezione richiede solo $f$ (e un cambio di segno); Newton richiede $f'$ e una stima iniziale “abbastanza vicina”.

Attenzione — Quando Newton fallisce

La convergenza non è garantita in tutti i casi:

• Se $f'(x_n)=0$ in qualche punto $\to$ divisione per zero, divergenza.
• Se $x_0$ è scelto male, l’iterazione può “saltare” fuori e oscillare (per esempio $f(x)=x^3-2x+2$ a partire da $x_0=0$ produce un ciclo $0,1,0,1,\ldots$).
• Vicino a zeri multipli la convergenza è solo lineare, non più quadratica.

La strategia comune è ibrida: prima un paio di passi di bisezione per “avvicinarsi”, poi Newton per affinare rapidamente.

In sintesi: la bisezione è la scelta sicura ma lenta; Newton è la scelta veloce ma delicata. Nella pratica numerica si combinano i due, sfruttando la robustezza dell’una per garantire una buona stima iniziale e la rapidità dell’altra per la precisione finale.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Convergenza quadratica · Metodo di newton raphson
Metodi: Newton raphson
Competenze: Analisi casi limite · Ragionare per casi