Identità di Newton per le somme di potenze

Osservazione — Calcolo di somme di potenze: identità di Newton

Definite $p_k = r_1^k+r_2^k+\cdots+r_n^k$ (somma delle potenze $k$-esime delle radici), valgono le ricorrenze di Newton: $p_1 = \sigma_1, \quad p_2 = \sigma_1 p_1 - 2\sigma_2, \quad p_3 = \sigma_1 p_2 - \sigma_2 p_1 + 3\sigma_3,\ \ldots$ Permettono di calcolare $\sum r_i^k$ senza conoscere le radici: utilissimo nei problemi olimpici.

Le identità di Newton collegano le somme di potenze $p_k$ alle funzioni simmetriche elementari $\sigma_k$ (le stesse delle relazioni di Vieta). Per la genesi storica di queste ricorrenze, come ponte fra l’algebra simbolica seicentesca e la teoria moderna delle funzioni simmetriche, si veda Stillwell.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Identita di newton · Relazioni di vieta
Competenze: Usare formule
Persone: Isaac Newton