Partizioni di 10 in esattamente tre parti

Testo

In quanti modi si può scrivere $10$ come somma di esattamente tre interi positivi (l’ordine non conta)?

Soluzione

Terne $a\ge b\ge c\ge 1$ con $a+b+c=10$, ordinate per $c$:

• $c=1$: $a+b=9$, $b\le 4$: $\ (8,1),(7,2),(6,3),(5,4)$ → $4$
• $c=2$: $a+b=8$, $2\le b\le 4$: $\ (6,2),(5,3),(4,4)$ → $3$
• $c=3$: $a+b=7$, $b=3$: $\ (4,3)$ → $1$

Totale $4+3+1=\boxed{8}$. (È lo stesso conteggio delle partizioni di $10$ con parte più grande uguale a $3$: la corrispondenza fra “esattamente tre parti” e “parte massima $3$” si ottiene coniugando i diagrammi.)

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Partizione
Competenze: Calcolo combinatorio · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio