Partizioni di 10 con parti al più 3

Testo

In quanti modi si può scrivere $10$ come somma di interi presi tra $1$, $2$ e $3$ (senza tener conto dell’ordine)? In modo equivalente: in quanti modi si possono pagare $10$ centesimi con monete da $1$, $2$ e $3$ centesimi?

Soluzione

Sia $a$ il numero di $3$, $b$ il numero di $2$, $c$ il numero di $1$: cerchiamo le soluzioni di $3a+2b+c=10$ con $a,b,c\ge 0$. Per ogni valore di $a$ e $b$ resta determinato $c=10-3a-2b\ge 0$:

• $a=0$: $2b\le 10 \Rightarrow b=0,\dots,5$ → $6$
• $a=1$: $2b\le 7 \Rightarrow b=0,\dots,3$ → $4$
• $a=2$: $2b\le 4 \Rightarrow b=0,1,2$ → $3$
• $a=3$: $2b\le 1 \Rightarrow b=0$ → $1$

Totale $6+4+3+1=\boxed{14}$.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Partizione
Competenze: Calcolo combinatorio · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio