Cinque quesiti di calcolo combinatorico

Testo

Rispondi ai seguenti quesiti spiegando la formula combinatoria scelta.

(a) In quanti modi si dispongono $6$ persone attorno a un tavolo, se due disposizioni sono uguali quando ogni persona ha lo stesso vicino a destra e a sinistra?

(b) In quanti modi si distribuiscono $20$ crocchette identiche in $4$ nascondigli?

(c) In quanti modi si distribuiscono $12$ regali diversi a $5$ persone (anche tutti alla stessa)?

(d) In quanti modi si dividono $12$ studenti in $3$ gruppi da $4$ (gruppi non ordinati)? Dimostra che sono $5775$.

(e) In quanti modi si scelgono $3$ dobermann su $12$ e $4$ pitbull su $7$?

Soluzione

(a) Permutazioni circolari: si fissa una persona come riferimento e si dispongono le altre $5$ nei posti rimanenti: $(6-1)! = 120$.

(b) Combinazioni con ripetizione (stars and bars): distribuire $20$ oggetti identici in $4$ contenitori equivale a scegliere $3$ separatori tra $23$ posizioni: $\binom{20+4-1}{3} = \binom{23}{3} = 1771$

(c) Ogni regalo, essendo distinto, può andare a una qualsiasi delle $5$ persone in modo indipendente dagli altri: $5^{12} = 244\,140\,625$

(d) Si scelgono $4$ studenti su $12$ per il primo gruppo, poi $4$ su $8$ per il secondo, poi i restanti $4$ formano il terzo gruppo; siccome i gruppi non sono etichettati (ordinati), si divide per $3!$ per eliminare le permutazioni degli stessi tre gruppi: $\frac{1}{3!}\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4} = \frac{495\cdot 70\cdot 1}{6} = 5775$

(e) Le due scelte sono indipendenti, quindi si moltiplicano le combinazioni: $\binom{12}{3}\binom{7}{4} = 220\cdot 35 = 7700$

$\boxed{120;\ 1771;\ 244\,140\,625;\ 5775;\ 7700}$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Coefficiente binomiale · Combinazioni con ripetizione · Disposizioni con ripetizione · Partizione · Permutazioni
Metodi: Combinazioni ripetizione · Disposizioni ripetizione · Partizione in gruppi · Permutazioni circolari
Competenze: Calcolo combinatorio
Tipo di esercizio: Problema combinatorio