Partizioni in parti distinte e in parti dispari

Testo

Un teorema di Eulero afferma che, per ogni $n$, il numero $D(n)$ di partizioni di $n$ in parti tutte distinte è uguale al numero $O(n)$ di partizioni di $n$ in parti tutte dispari. Verificalo per $n=9$ elencando entrambe le famiglie e trovando il valore comune.

Soluzione

Parti distinte ($D(9)$): $9;\ 8{+}1;\ 7{+}2;\ 6{+}3;\ 5{+}4;\ 6{+}2{+}1;\ 5{+}3{+}1;\ 4{+}3{+}2 \quad\Rightarrow\ 8.$ Parti dispari ($O(9)$): $9;\ 7{+}1{+}1;\ 5{+}3{+}1;\ 5{+}1{+}1{+}1{+}1;\ 3{+}3{+}3;\ 3{+}3{+}1{+}1{+}1;\ 3{+}1{\cdots}1;\ 1{+}\cdots{+}1 \quad\Rightarrow\ 8.$ In entrambi i casi si ottengono $\boxed{8}$ partizioni, come previsto dal teorema di Eulero.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Partizione
Competenze: Calcolo combinatorio · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio