Urna con probabilita un mezzo

Testo

Un’urna contiene $21$ palline, di cui $r$ rosse e le restanti bianche. Si estraggono due palline a caso senza reimmissione e la probabilità che siano entrambe rosse è esattamente $\dfrac12$. Quante palline rosse ci sono?

Soluzione

La probabilità che entrambe siano rosse è $\frac{\binom{r}{2}}{\binom{21}{2}}=\frac{r(r-1)}{21\cdot 20}=\frac12.$ Quindi $r(r-1)=\dfrac{21\cdot 20}{2}=210$. Cerchiamo due interi consecutivi con prodotto $210$: $15\cdot 14=210$, dunque $r=\boxed{15}.$ Verifica: $\dfrac{15\cdot 14}{21\cdot 20}=\dfrac{210}{420}=\dfrac12$.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Combinazioni · Combinazioni semplici
Competenze: Calcolo combinatorio · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema combinatorio