Partizioni di 12 in esattamente tre parti

Testo

In quanti modi si può scrivere $12$ come somma di esattamente tre interi positivi, senza tener conto dell’ordine (per esempio $10+1+1$ e $1+10+1$ sono la stessa partizione)?

Soluzione

Contiamo le terne $a\ge b\ge c\ge 1$ con $a+b+c=12$, ordinando per il termine più piccolo $c$:

• $c=1$: $a+b=11$, con $b\le 5$: $\ (10,1),(9,2),(8,3),(7,4),(6,5)$ → $5$
• $c=2$: $a+b=10$, con $2\le b\le 5$: $\ (8,2),(7,3),(6,4),(5,5)$ → $4$
• $c=3$: $a+b=9$, con $3\le b\le 4$: $\ (6,3),(5,4)$ → $2$
• $c=4$: $a+b=8$, con $b=4$: $\ (4,4)$ → $1$

In totale $5+4+2+1=\boxed{12}$ partizioni.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Partizione
Competenze: Calcolo combinatorio · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio