Contare le collane

Testo

Con perline di $3$ colori si formano fili di esattamente $5$ perline; ci sono $3^5$ fili possibili. Si scartano i fili monocromatici e si chiudono ad anello gli altri: ruotando un filo si ottengono $5$ fili che danno la stessa collana. Quante collane distinte (non monocromatiche) si possono formare?

Soluzione

Fili totali: $3^5=243$. Quelli monocromatici sono $3$ (uno per colore), quindi restano $243-3=240$ fili non monocromatici. Poiché $5$ è primo, ogni collana corrisponde esattamente a $5$ fili (le sue rotazioni), tutti distinti. Dunque $N=\frac{3^5-3}{5}=\frac{240}{5}=\boxed{48}.$ (È l’idea combinatoria dietro il piccolo teorema di Fermat: $5\mid 3^5-3$.)

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Principio di moltiplicazione
Metodi: Principio conteggio
Competenze: Calcolo combinatorio · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema combinatorio