Parole con tutte e tre le lettere

Testo

Quante «parole» di $5$ lettere formate con l’alfabeto $\{A, B, C\}$ contengono almeno una volta ciascuna delle tre lettere?

Soluzione

Usiamo il principio di inclusione-esclusione. Le parole totali sono $3^{5}=243$. Sottraiamo quelle a cui manca almeno una lettera.

• Parole che usano al più $2$ lettere fissate (ne manca una): $2^{5}=32$ ciascuna, e le lettere mancanti si scelgono in $\binom{3}{1}=3$ modi $\Rightarrow 3\cdot 32 = 96$.
• Ma così abbiamo tolto due volte le parole con una sola lettera; queste sono $1^{5}=1$ ciascuna, per $\binom{3}{2}=3$ coppie $\Rightarrow$ le riaggiungiamo: $+3$.

Quindi le parole «complete» sono $N = 3^{5} - 3\cdot 2^{5} + 3\cdot 1^{5} = 243 - 96 + 3 = \boxed{150}.$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Disposizioni con ripetizione · Principio di moltiplicazione
Metodi: Principio conteggio
Competenze: Calcolo combinatorio · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema combinatorio