Palline in cinque scatole non vuote

Testo

In quanti modi si possono distribuire $20$ palline identiche in $5$ scatole distinte, se nessuna scatola può restare vuota?

Soluzione

Poiché ogni scatola deve contenere almeno una pallina, mettiamo subito una pallina in ciascuna delle $5$ scatole: ne restano $20-5=15$ da distribuire liberamente. Ma è più diretto usare la formula per le distribuzioni di $k$ oggetti identici in $n$ scatole senza vuoti, che equivale a scegliere $n-1$ separatori tra i $k-1$ spazi: $N = \binom{k-1}{n-1} = \binom{20-1}{5-1} = \binom{19}{4} = \frac{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}{24} = \boxed{3876}.$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Coefficiente binomiale · Combinazioni con ripetizione
Metodi: Combinazioni ripetizione
Competenze: Calcolo combinatorio
Tipo di esercizio: Problema combinatorio