Distribuzione o estrazione — foglietti e palline

Le stesse quattro formule si possono raccontare con due immagini mentali diverse. È importante tenerle distinte: mescolarle è la causa più comune di confusione.

Due modelli, stesse formule

• Distribuzione (foglietti). Ho $k$ foglietti in mano e li assegno a $n$ persone. I foglietti si piazzano tutti; qualche persona può restare senza. → $k$ = foglietti (oggetti), $n$ = persone (destinazioni). È il modello delle funzioni $f:K\to N$.
• Estrazione (palline). Ho un’urna con $n$ palline e ne estraggo $k$. → $n$ = palline nell’urna, $k$ = estrazioni.

Attenzione a non fondere i due racconti: la frase “estraggo $k$ foglietti da un’urna di $n$” è un ibrido scorretto. I foglietti si distribuiscono (a delle persone); le palline si estraggono (da un’urna). Sono storie fisiche diverse che portano alle stesse formule.

Come si corrispondono

Nel modello dell’urna, le $k$ estrazioni giocano il ruolo dei foglietti (il dominio) e le $n$ palline quello delle persone (il codominio). Le due domande diventano:

• con reimmissione / senza reimmissione ↔ più di uno / al massimo uno a testa (una pallina può ricapitare o no);
• conta l’ordine / non conta l’ordine ↔ foglietti numerati / bianchi.

estrazione di $k$ palline da $n$	formula	foglietti
ordinata, con reimmissione	$n^k$	numerati, più di uno
ordinata, senza reimmissione	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	numerati, max 1
non ordinata, con reimmissione	$\dbinom{n+k-1}{k}$	bianchi, più di uno
non ordinata, senza reimmissione	$\dbinom{n}{k}$	bianchi, max 1

Le tre letture di $\binom{n}{k}$

Lo stesso numero $\dbinom{n}{k}$ risponde a tre domande apparentemente diverse:

• sottoinsiemi: quanti sottoinsiemi di $k$ elementi ha un insieme di $n$;
• sorteggio (urna): in quanti modi si estraggono $k$ palline da un sacchetto di $n$, senza che conti l’ordine;
• distribuzione (foglietti): in quanti modi si distribuiscono $k$ foglietti bianchi a $n$ persone, al massimo uno a testa.

Sono la stessa cosa vista da tre lati. Per esempio, sorteggiare $2$ palline tra $5$ (l’ordine non conta) dà le $\dbinom{5}{2}=10$ coppie $\{1,2\},\{1,3\},\dots,\{4,5\}$.

Ordine sì o no: $8$ palline, ne estraggo $4$

Da un’urna con $8$ palline numerate estraggo $4$ palline contando l’ordine (es. $4242$ è diverso da $4422$):

• con reimmissione: $8^4 = 4096$;
• senza reimmissione: $\dfrac{8!}{4!} = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 = 1680$.

Se invece l’ordine non contasse, senza reimmissione avrei $\dbinom{8}{4}=70$.

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria
Concetti: Combinazioni · Disposizioni
Metodi: Tabella foglietti
Competenze: Calcolo combinatorio · Modellizzare