La prostaferesi prima dei logaritmi

Oggi le formule di prostaferesi sembrano un dettaglio della goniometria, ma tra la fine del Cinquecento e l’inizio del Seicento furono un vero strumento di calcolo, usato dagli astronomi per aggirare una difficoltà pratica enorme: moltiplicare numeri con molte cifre a mano è lento e pieno di errori, mentre sommare è facile.

L’idea è racchiusa nella formula di Werner $\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\bigr].$ Supponiamo di dover moltiplicare due numeri $x$ e $y$ compresi tra $-1$ e $1$. Da una tavola dei coseni si cercano gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\cos\alpha = x$ e $\cos\beta = y$; si calcolano le due somme $\alpha-\beta$ e $\alpha+\beta$ (operazioni facili); si leggono nella stessa tavola $\cos(\alpha-\beta)$ e $\cos(\alpha+\beta)$; infine si sommano e si dimezza. Il prodotto $xy$ è così ottenuto senza mai eseguire una moltiplicazione, ma solo con addizioni, sottrazioni e letture di tavole.

Il metodo prese il nome greco di prostaferesi — da prósthesis (aggiunta) e aphaíresis (sottrazione) — proprio perché riduceva tutto ad addizioni e sottrazioni. Le identità di partenza risalgono a Johann Werner, matematico di Norimberga, all’inizio del Cinquecento; la loro applicazione sistematica al calcolo astronomico si deve però a Paul Wittich, che intorno al 1580 la introdusse nel celebre osservatorio di Tycho Brahe sull’isola di Hven, dove servivano moltiplicazioni continue per ridurre le osservazioni dei pianeti (Boyer; Katz).

La prostaferesi ebbe vita breve: nel 1614 Nepero pubblicò i logaritmi, che trasformano ogni prodotto in una somma in modo diretto ($\log(xy) = \log x + \log y$) e senza il vincolo di lavorare solo con numeri tra $-1$ e $1$. Da allora le formule di prostaferesi tornarono a essere ciò che sono per noi: identità goniometriche utili a scomporre in fattori una somma di seni o coseni (Dunham).

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Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di prostaferesi · Formule di werner
Persone: Johann Werner · John Napier (Nepero) · Paul Wittich · Tycho Brahe