Fino alla metà dell’Ottocento la parola “geometria” al singolare sembrava non avere più senso: accanto alla geometria di Euclide erano nate la geometria proiettiva, quella affine, le geometrie non euclidee. Ciascuna aveva i suoi teoremi e le sue regole, e non era chiaro che cosa le tenesse insieme. La risposta arrivò nel 1872, quando il ventitreenne Felix Klein, assumendo la cattedra all’Università di Erlangen, presentò un breve scritto programmatico passato alla storia come programma di Erlangen (in tedesco Erlanger Programm).
L’idea centrale: geometria = invarianti di un gruppo
L’intuizione di Klein è che una geometria non sia definita dagli oggetti che studia, ma dalle trasformazioni che è disposta a considerare “innocue”. Fissato un insieme di trasformazioni del piano che sia chiuso rispetto alla composizione e all’inversa — cioè un gruppo — la geometria corrispondente studia soltanto quelle proprietà delle figure che restano invariate sotto tutte le trasformazioni del gruppo (Boyer). Cambiando il gruppo, cambia la geometria.
Le isometrie che studi in questo capitolo sono l’esempio più semplice. Traslazioni, rotazioni, simmetrie e le loro composizioni formano un gruppo: componendo due isometrie se ne ottiene un’altra, ogni isometria ha un’inversa (a sua volta un’isometria), e la trasformazione identica fa da elemento neutro. Gli invarianti di questo gruppo sono la distanza tra due punti, l’ampiezza degli angoli e l’area: è la geometria “metrica”, quella in cui due figure sono considerate uguali quando sono congruenti.
Una gerarchia di geometrie
Allargando il gruppo, si conserva di meno e la geometria diventa più “grossolana”:
- Isometrie — si conservano distanze, angoli e aree (figure congruenti);
- Similitudini — si aggiungono le dilatazioni uniformi: le distanze non si conservano più, ma si conservano i rapporti tra distanze e gli angoli (figure simili);
- Affinità — si conservano il parallelismo e i rapporti tra segmenti su una stessa retta, ma non gli angoli: una circonferenza e un’ellisse diventano “la stessa figura”;
- Proiettività — si conserva ancora meno (l’invariante caratteristico è il birapporto di quattro punti allineati); è la geometria dell’ombra e della prospettiva.
Ogni gruppo è contenuto in quello successivo, e più il gruppo è ampio meno sono le proprietà invarianti: si passa così, in modo ordinato, da una geometria all’altra.
L’eredità
Il programma di Erlangen nacque dal dialogo di Klein con il matematico norvegese Sophus Lie, con cui aveva studiato la teoria dei gruppi continui (Kline). Quell’idea — descrivere una struttura attraverso il gruppo delle trasformazioni che la lasciano invariata — è diventata uno dei fili conduttori della matematica e della fisica moderne: la ritroviamo nella teoria della relatività, dove le leggi fisiche devono restare invariate rispetto a un preciso gruppo di trasformazioni, e più in generale ogni volta che una simmetria diventa uno strumento di indagine (Katz).
Collegamenti
Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Composizione di trasformazioni · Isometria · Trasformazione del piano
Persone: Felix Klein · Sophus Lie