L'ordine puntuale tra funzioni è parziale

Testo

Per $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ poniamo $f \preccurlyeq g$ se e solo se $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Dimostra che $\preccurlyeq$ è una relazione d’ordine (parziale). È un ordine totale?

Soluzione

Riflessiva: $f(x) \le f(x)$ per ogni $x$, quindi $f \preccurlyeq f$. Antisimmetrica: se $f \preccurlyeq g$ e $g \preccurlyeq f$, allora per ogni $x$ vale $f(x) \le g(x)$ e $g(x) \le f(x)$, quindi $f(x) = g(x)$ per ogni $x$, cioè $f = g$. Transitiva: se $f \preccurlyeq g$ e $g \preccurlyeq h$, allora per ogni $x$ vale $f(x) \le g(x) \le h(x)$, quindi $f \preccurlyeq h$.

Le tre proprietà valgono, dunque $\preccurlyeq$ è un ordine parziale.

Non è totale. Prendiamo $f(x) = x$ e $g(x) = -x$. In $x = 1$: $f(1) = 1 > -1 = g(1)$, quindi $f \not\preccurlyeq g$. In $x = -1$: $f(-1) = -1 < 1 = g(-1)$, quindi $g \not\preccurlyeq f$. Le due funzioni non sono confrontabili. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Ordine parziale · Relazione d ordine
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione