Il polinomio personalizzato

Testo

Un “polinomio personalizzato” cubico $p$ soddisfa $p(0)=3$, $p(1)=1$, $p(2)=13$, $p(3)=5$. Usando il metodo delle differenze finite (per un polinomio di terzo grado la differenza terza è costante), calcola $p(4)$.

Soluzione

Costruiamo la tabella delle differenze a partire dai valori $3,\,1,\,13,\,5$:

• differenze prime: $-2,\ 12,\ -8$
• differenze seconde: $14,\ -20$
• differenza terza: $-34$ (costante, perché $p$ ha grado $3$).

Prolunghiamo mantenendo costante la differenza terza: $\Delta^2_{\text{succ}}=-20+(-34)=-54,\quad \Delta^1_{\text{succ}}=-8+(-54)=-62,$ $p(4)=5+(-62)=\boxed{-57}.$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Interpolazione · Polinomio
Competenze: Ragionare per casi · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema verbale