Una biiezione dai naturali agli interi

Testo

Definiamo $g : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ ponendo $g(n) = \begin{cases} \dfrac{n+1}{2} & \text{se } n \text{ è dispari},\\[4pt] -\dfrac{n}{2} & \text{se } n \text{ è pari}.\end{cases}$ Dimostra che $g$ è una biiezione.

Soluzione

I primi valori sono $g(0)=0,\ g(1)=1,\ g(2)=-1,\ g(3)=2,\ g(4)=-2,\dots$: la funzione elenca ordinatamente tutti gli interi.

Suriettività. Sia $z \in \mathbb{Z}$.

• Se $z > 0$, poniamo $n = 2z - 1$ (dispari): $g(n) = \frac{(2z-1)+1}{2} = z$.
• Se $z \le 0$, poniamo $n = -2z$ (pari, $\ge 0$): $g(n) = -\frac{-2z}{2} = z$. In ogni caso $z$ ha una controimmagine, quindi $g$ è suriettiva.

Iniettività. I valori sui dispari sono tutti positivi ($\ge 1$), quelli sui pari sono tutti $\le 0$: quindi due numeri di parità diversa hanno immagini diverse. Sui soli dispari $n \mapsto \frac{n+1}{2}$ è strettamente crescente, quindi iniettiva; lo stesso vale sui soli pari con $n \mapsto -\frac{n}{2}$. Perciò $g$ è iniettiva.

Essendo iniettiva e suriettiva, $g$ è una biiezione. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione biiettiva · Iniettivita · Suriettivita
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione