Grafici con estremi assegnati (su ℝ)

Testo

Per ciascun punto disegna una funzione diversa, definita su tutto $\mathbb{R}$ e continua. La funzione deve:

• (a) avere sia massimo sia minimo assoluti;
• (b) avere un minimo assoluto, un estremo superiore finito e nessun massimo relativo.

Soluzione

Esercizio di costruzione: esibiamo un esempio valido per ciascun punto.

(a) Una funzione limitata su tutto $\mathbb{R}$ che raggiunga entrambi gli estremi: $\boxed{f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}}$ È continua su $\mathbb{R}$; ha massimo assoluto $\tfrac12$ in $x=1$ e minimo assoluto $-\tfrac12$ in $x=-1$; per $x\to\pm\infty$ tende a $0$ (asintoto orizzontale $y=0$). Entrambi gli estremi sono raggiunti.

(b) Una sola conca: minimo assoluto raggiunto in $x=0$, che poi risale verso un valore finito mai raggiunto. Modello: $\boxed{f(x)=\dfrac{-1}{1+x^2}}$ Ha minimo assoluto $-1$ in $x=0$ (raggiunto). Per $x\to\pm\infty$ tende a $0$: quindi $\sup=0$ è finito ma non è raggiunto, dunque non c’è massimo assoluto; ed essendo la funzione crescente per $x>0$ e decrescente per $x<0$ senza gobbe interne, non ha alcun massimo relativo.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Massimi minimi assoluti · Massimi minimi relativi
Competenze: Disegnare grafico · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico