Definizione di funzione a tratti

Una funzione definita a tratti (o a pezzi) è una funzione che cambia “formula” a seconda di in quale intervallo cade $x$. Le abbiamo già incontrate nello studio del valore assoluto: ora le trattiamo come oggetto autonomo.

Definizione — Funzione definita a tratti

Una funzione $f\colon D\to\mathbb{R}$ è definita a tratti se $D$ è suddiviso in $n$ intervalli $I_1,\ldots,I_n$ con $D=I_1\cup\cdots\cup I_n$ e su ciascun $I_k$ si assegna una formula $f_k(x)$: $f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x\in I_1, \\ f_2(x) & x\in I_2, \\ \vdots & \\ f_n(x) & x\in I_n. \end{cases}$

Esempio — Funzione segno

$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} +1 & x>0, \\ 0 & x=0, \\ -1 & x<0. \end{cases}$ Tre tratti costanti. Non è continua in $x=0$: salto di altezza $2$.

Esempio — Valore assoluto come funzione a tratti

$|x|=\begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0\end{cases}$. Due tratti lineari che si incontrano in $(0,0)$ con la stessa altezza: continua ma non derivabile in $0$ (punto angoloso, che vedremo in Quinta).

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
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Funzioni: Funzione segno · Valore assoluto