Iniezione tra gli insiemi delle parti

Testo

Siano $A$ e $B$ insiemi con $A \subseteq B$. Dimostra che esiste una funzione iniettiva da $\mathcal{P}(A)$ in $\mathcal{P}(B)$.

Soluzione

Definiamo $\iota : \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B)$ ponendo $\iota(X) = X$ (ogni sottoinsieme di $A$ visto come sottoinsieme di $B$).

È ben definita: se $X \in \mathcal{P}(A)$ allora $X \subseteq A$; poiché $A \subseteq B$, per transitività $X \subseteq B$, cioè $X \in \mathcal{P}(B)$.

È iniettiva: se $\iota(X_1) = \iota(X_2)$ allora $X_1 = X_2$ come insiemi, banalmente. Quindi $\iota$ è iniettiva.

Perciò $\mathcal{P}(A)$ si immerge in $\mathcal{P}(B)$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Iniettivita · Insieme delle parti · Sottoinsieme
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione