Il prodotto di due biiezioni è una biiezione

Testo

Siano $f : A \to B$ e $g : C \to D$ due biiezioni. Dimostra che la funzione $h : A \times C \to B \times D$ definita da $h(a, c) = \big(f(a),\, g(c)\big)$ è una biiezione.

Soluzione

Poiché $f$ e $g$ sono biiezioni, hanno inverse $f^{-1} : B \to A$ e $g^{-1} : D \to C$. Definiamo $k : B \times D \to A \times C, \qquad k(b, d) = \big(f^{-1}(b),\, g^{-1}(d)\big).$ Verifichiamo che $k$ è l’inversa di $h$: $k\big(h(a,c)\big) = k\big(f(a), g(c)\big) = \big(f^{-1}(f(a)),\, g^{-1}(g(c))\big) = (a, c),$ $h\big(k(b,d)\big) = h\big(f^{-1}(b), g^{-1}(d)\big) = \big(f(f^{-1}(b)),\, g(g^{-1}(d))\big) = (b, d).$ Avendo un’inversa (a sinistra e a destra), $h$ è una biiezione. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Composizione di funzioni · Funzione biiettiva
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione