Proprietà delle relazioni di inclusione e appartenenza

Testo

Una relazione $R$ è riflessiva se $\forall x\,(x R x)$ e simmetrica se $\forall x \forall y\,(x R y \to y R x)$. Mostra che $\subseteq$ è riflessiva ma $\in$ non lo è. Poi stabilisci se $\subseteq$ e $\in$ sono simmetriche.

Soluzione

$\subseteq$ è riflessiva: ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso, $A \subseteq A$.

$\in$ non è riflessiva: in generale $A \notin A$. Ad esempio $\{1\} \notin \{1\}$, perché l’unico elemento di $\{1\}$ è $1$, non $\{1\}$. Basta questo controesempio.

$\subseteq$ non è simmetrica: da $A \subseteq B$ non segue $B \subseteq A$. Controesempio: $\{1\} \subseteq \{1,2\}$ ma $\{1,2\} \not\subseteq \{1\}$.

$\in$ non è simmetrica: da $A \in B$ non segue $B \in A$. Controesempio: $1 \in \{1\}$ ma $\{1\} \notin 1$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Relazione · Relazione d ordine
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione