I test di sequenze non hanno risposta unica

Testo

Un test chiede: “qual è il numero successivo della sequenza $2,\,4,\,6,\,8,\ ?$”. Dimostra che, scelto un qualunque valore $a$, esiste un polinomio $p$ con $p(1)=2$, $p(2)=4$, $p(3)=6$, $p(4)=8$ e $p(5)=a$. Concludi che la domanda non ha una risposta matematicamente obbligata.

Soluzione

Il polinomio $q(x)=2x$ soddisfa già i primi quattro dati. Aggiungiamo un termine che si annulla in $x=1,2,3,4$: $p(x)=2x+c\,(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).$ Per $x=1,2,3,4$ il secondo addendo vale $0$, quindi $p$ dà ancora $2,4,6,8$. Per $x=5$: $p(5)=10+c\,(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)=10+24c.$ Scegliendo $c=\dfrac{a-10}{24}$ si ottiene $p(5)=a$. Poiché $a$ è arbitrario, ogni continuazione è giustificabile: la sequenza dei primi quattro termini non determina il quinto. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Interpolazione · Polinomio
Competenze: Argomentare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione