Funzioni con proprietà assegnate (asintoti, flesso, monotonia)

Testo

Scrivi una funzione (diversa per ogni punto) che:

• (a) sia sempre crescente ma non sia una retta;
• (b) abbia come asintoto obliquo una retta parallela a $y=2x$;
• (c) abbia un asintoto verticale in $x=-3$ e un asintoto orizzontale in $y=1$;
• (d) abbia un flesso in $x=0$.

Soluzione

Esercizio di costruzione: si richiede un esempio valido per ciascuna proprietà.

(a) L’esponenziale è ovunque strettamente crescente ma non è una retta: $\boxed{y=e^{x}}$ Infatti $y'=e^{x}>0$ per ogni $x$, e il grafico non è rettilineo. (Andrebbe bene anche $y=x^3$.)

(b) Una retta parallela a $y=2x$ ha pendenza $2$; basta aggiungere a $2x$ un termine che si annulli all’infinito: $\boxed{y=2x+\dfrac{1}{x}}$ Per $x\to\pm\infty$ si ha $y-2x=\dfrac1x\to0$, quindi $y=2x$ è asintoto obliquo (pendenza $2$, parallelo a $y=2x$).

(c) Partiamo dall’iperbole traslata: denominatore che si annulla in $x=-3$ (asintoto verticale) e limite $1$ all’infinito (asintoto orizzontale): $\boxed{y=1+\dfrac{1}{x+3}}$ Per $x\to-3$ il termine $\tfrac{1}{x+3}\to\pm\infty$: asintoto verticale $x=-3$. Per $x\to\pm\infty$ si ha $y\to1$: asintoto orizzontale $y=1$.

(d) La cubica ha un flesso proprio nell’origine: $\boxed{y=x^{3}}$ Infatti $y''=6x$ si annulla e cambia segno in $x=0$: concavità verso il basso per $x<0$, verso l’alto per $x>0$, dunque flesso in $x=0$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Asintoto · Asintoto obliquo · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Flesso · Monotonia
Competenze: Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico