Grafici con estremi assegnati (x>0)

Testo

Per ciascun punto disegna una funzione diversa, definita per $x>0$ e continua (salvo diverso avviso). La funzione deve:

• (a) avere sia massimo sia minimo assoluti;
• (b) avere un massimo relativo di valore $3$, un minimo relativo di valore $1$, estremo superiore $5$ ed essere illimitata inferiormente ($\inf=-\infty$);
• (c) avere massimo assoluto, estremo inferiore finito e nessun minimo relativo;
• (d) avere un massimo assoluto nel punto in cui presenta anche una discontinuità di tipo salto, e un minimo relativo non assoluto.

Soluzione

Sono richieste costruzioni: basta esibire un esempio valido per ciascun punto. Riportiamo una funzione modello e ne descriviamo le caratteristiche.

(a) Serve una funzione limitata che raggiunga sia il valore massimo sia quello minimo. Il seno funziona: $\boxed{f(x)=\sin x,\qquad x>0}$ È continua, limitata tra $-1$ e $1$ e assume infinite volte entrambi gli estremi: massimo assoluto $1$ (in $x=\tfrac\pi2,\ \tfrac{5\pi}2,\dots$) e minimo assoluto $-1$ (in $x=\tfrac{3\pi}2,\dots$).

(b) Nessuna formula elementare è comoda: descriviamo il grafico. Vicino a $x=0^+$ la curva scende verso $-\infty$ (illimitata inferiormente, $\inf=-\infty$); poi sale fino a un massimo relativo di quota $3$; scende a un minimo relativo di quota $1$; infine risale avvicinandosi all’asintoto orizzontale $y=5$ senza mai toccarlo, così che $\sup=5$ (non è un massimo).

(c) Una funzione con una sola gobba: sale, tocca il massimo, poi decresce verso un valore finito che non raggiunge mai. Modello: $\boxed{f(x)=\dfrac{x}{1+x^2},\qquad x>0}$ Ha massimo assoluto $\tfrac12$ in $x=1$; per $x\to+\infty$ (e per $x\to0^+$) tende a $0$, quindi $\inf=0$ è finito ma non è raggiunto: non esiste minimo (né assoluto né relativo).

(d) Costruiamo una funzione a tratti. Una parabola con vertice (minimo relativo) di quota $1$ in $x=2$, un salto in $x=3$ dove il valore vale $5$ (massimo assoluto), poi un ramo decrescente che scende sotto $1$: $\boxed{f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+1 & 0<x<3\\[2pt] 5 & x=3\\[2pt] \dfrac{3}{x-2} & x>3\end{cases}}$ In $x=3$ il limite sinistro vale $2$, il limite destro vale $3$: sono diversi, quindi è una discontinuità di salto; il valore $f(3)=5$ è il massimo assoluto. Il vertice $(2;1)$ è un minimo relativo non assoluto, perché per $x\to+\infty$ il ramo $\tfrac{3}{x-2}$ scende sotto $1$ (es. $f(6)=0{,}75$), con $\inf=0$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Asintoto · Discontinuita · Massimi minimi assoluti · Massimi minimi relativi
Competenze: Disegnare grafico · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Disegno grafico