Archimede e la misura del cerchio

Il numero $\pi$ compare in ogni formula sulla circonferenza — lunghezza $2\pi r$, area $\pi r^2$ — ma quanto vale davvero? La risposta più antica e rigorosa la diede Archimede di Siracusa (287–212 a.C.) nel breve trattato Sulla misura del cerchio (in greco Kýklou métrēsis), tre proposizioni che sono un capolavoro di ragionamento geometrico.

L’idea: stringere il cerchio fra due poligoni

Una circonferenza è una curva, e misurarla direttamente è impossibile con riga e compasso. Archimede aggirò l’ostacolo con un’idea semplice e potente: racchiudere la circonferenza fra due poligoni regolari, uno inscritto e uno circoscritto, di cui invece sappiamo calcolare esattamente il perimetro.

Il perimetro del poligono inscritto è più corto della circonferenza; quello del poligono circoscritto è più lungo. La lunghezza vera resta dunque “imprigionata” fra i due: $P_{\text{inscritto}} < 2\pi r < P_{\text{circoscritto}}$

Più lati hanno i poligoni, più i due perimetri si avvicinano fra loro e più stretta diventa la morsa attorno al valore incognito.

Il poligono di 96 lati

Archimede non si fermò a poche stime: partendo dall’esagono regolare raddoppiò più volte il numero dei lati — $6 \to 12 \to 24 \to 48 \to 96$ — ricavando a ogni passo, con calcoli esatti su radici quadrate, il nuovo perimetro. Arrivato al poligono di $96$ lati ottenne la celebre doppia disuguaglianza: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$

In numeri decimali, $3{,}1408\ldots < \pi < 3{,}1428\ldots$. Il valore $\tfrac{22}{7} = 3\tfrac{1}{7}$ è ancora oggi la frazione con cui si approssima $\pi$ nei conti rapidi (Boyer, Dunham).

Perché è importante

Il metodo di Archimede è la prima comparsa di un’idea che percorre tutta la matematica: approssimare una quantità inafferrabile con una successione di stime per difetto e per eccesso che la stringono da entrambi i lati. È l’antenato diretto del concetto di limite e del calcolo integrale, che nasceranno duemila anni più tardi. Con lo stesso spirito, nella sua opera Sulla sfera e il cilindro, Archimede dimostrò che l’area del cerchio equivale a quella di un triangolo con base pari alla circonferenza e altezza uguale al raggio, cioè $\pi r^2$ (Katz).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Arco · Circonferenza
Persone: Archimede