Portare sotto lo stesso segno di radice (recupero II)

Testo

Porta sotto lo stesso segno di radice:

• (a) $\sqrt[6]{3^4}\cdot\sqrt[8]{5^3}$;
• (b) $\sqrt[12]{5^3}\cdot\sqrt[18]{5^3}\cdot\sqrt[15]{7^3}$;
• (c) $\sqrt[3]{3^2}\cdot\sqrt[4]{2^3}\cdot\sqrt[5]{7^4}$.

Soluzione

Si porta ogni fattore all’indice comune (m.c.m. degli indici) e si riunisce sotto un unico radicale.

(a) m.c.m.$(6,8)=24$: $\sqrt[6]{3^4}=\sqrt[24]{3^{16}}$ e $\sqrt[8]{5^3}=\sqrt[24]{5^9}$, quindi $\sqrt[6]{3^4}\cdot\sqrt[8]{5^3}=\sqrt[24]{3^{16}\cdot5^9}.$

(b) Semplifico prima: $\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[4]{5}=5^{1/4}$, $\sqrt[18]{5^3}=\sqrt[6]{5}=5^{1/6}$, $\sqrt[15]{7^3}=\sqrt[5]{7}=7^{1/5}$. L’esponente di $5$ è $\tfrac14+\tfrac16=\tfrac{5}{12}$; m.c.m.$(12,5)=60$: $\sqrt[12]{5^3}\cdot\sqrt[18]{5^3}\cdot\sqrt[15]{7^3}=5^{5/12}\,7^{1/5}=\sqrt[60]{5^{25}\cdot7^{12}}.$

(c) m.c.m.$(3,4,5)=60$: $\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[60]{3^{40}}$, $\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[60]{2^{45}}$, $\sqrt[5]{7^4}=\sqrt[60]{7^{48}}$, quindi $\sqrt[3]{3^2}\cdot\sqrt[4]{2^3}\cdot\sqrt[5]{7^4}=\sqrt[60]{2^{45}\cdot3^{40}\cdot7^{48}}.$

$\boxed{(a)\ \sqrt[24]{3^{16}\cdot5^9}\qquad (b)\ \sqrt[60]{5^{25}\cdot7^{12}}\qquad (c)\ \sqrt[60]{2^{45}\cdot3^{40}\cdot7^{48}}}$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Proprieta dei radicali
Competenze: Calcolare · Semplificare
Tipo di esercizio: Semplificazione