Portare fuori dal segno di radice (recupero II)

Testo

Porta fuori dal segno di radice tutte le potenze possibili:

• (a) $\sqrt[15]{3^{50}\cdot3^{100}}$;
• (b) $\sqrt[13]{3^{17}\cdot5^{40}}$;
• (c) $\sqrt[5]{2^{13}\cdot5^{33}\cdot3^{22}}$.

Soluzione

Si divide ciascun esponente per l’indice: il quoziente esce, il resto rimane sotto radice.

(a) $3^{50}\cdot3^{100}=3^{150}$ e $150$ è multiplo di $15$, quindi la radice è esatta: $\sqrt[15]{3^{150}}=3^{10}=59049.$

(b) Indice $13$: $17=13+4$ e $40=39+1=3\cdot13+1$, dunque $3^{17}=3^{13}\cdot3^4$ e $5^{40}=(5^3)^{13}\cdot5$: $\sqrt[13]{3^{17}\cdot5^{40}}=3\cdot5^3\sqrt[13]{3^4\cdot5}=375\sqrt[13]{405}.$

(c) Indice $5$: $13=10+3$, $33=30+3$, $22=20+2$, dunque escono $2^2$, $5^6$, $3^4$: $\sqrt[5]{2^{13}\cdot5^{33}\cdot3^{22}}=2^2\cdot5^6\cdot3^4\sqrt[5]{2^3\cdot5^3\cdot3^2}=5062500\sqrt[5]{9000}.$

$\boxed{(a)\ 59049\qquad (b)\ 375\sqrt[13]{405}\qquad (c)\ 5062500\sqrt[5]{9000}}$

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Proprieta dei radicali
Competenze: Calcolare · Semplificare
Tipo di esercizio: Semplificazione